Egy függőleges hengerben \(m\) tömegű vízszintes dugattyú \(T\) hőmérsékletű ideális gázt zár el a levegőtől. A gázt \(2T\)-re melegítjük. Mekkora \(M\) tömegű súlyt helyezzünk a dugattyúra, hogy az változatlan magasságban maradjon?
A) $m$-nél nagyobb tömegű súlyt kell a dugattyúra helyezni.
B) $m$-nél kisebb tömegű súlyt kell a dugattyúra helyezni.
C) $m$-mel megegyező tömegű súlyt kell a dugattyúra helyezni.
D) Csak annak ismeretében dönthető el, hogy milyen gáz van bezárva.
A) $m$-nél nagyobb tömegű súlyt kell a dugattyúra helyezni.
B) $m$-nél kisebb tömegű súlyt kell a dugattyúra helyezni.
C) $m$-mel megegyező tömegű súlyt kell a dugattyúra helyezni.
D) Csak annak ismeretében dönthető el, hogy milyen gáz van bezárva.
A feladat megoldhatatlan, mivel a feladat szövegéből nem derül ki, hogy milyen mértékegységben mérve nő a kezdeti \(T\) hőmérséklet \(2T\) értékűre.
Ennek illusztrálására egy egyszerű eset: ha a gáz kezdetben \(T=-10\ ^\circ C\) hőmérsékletű, akkor a végén \(2T=-20\ ^\circ C\) hőmérsékletű, amitől további súly rápakolása nélkül összehúzódna, vagyis nehezék rápakolása helyett felfelé kellene húzni a végén a dugattyút, hogy az eredeti térfogatát biztosítani tudjuk.
A feladat kitűzői (a javítókulcs megoldása alapján) úgy gondolták, hogy a hőmérsékletek kelvinben vannak, csak ezt elfelejtették beleírni. (A gyakori "Mire gondoltam én?" típusú feladatkitűzési hiba.)
Oldjuk meg úgy, hogy a \(T\) és \(2T\) hőmársékletek kelvinben értendők! Azt akarjuk, hogy a gáz \(V\) térfogata ne változzon, vagyis a végállapot a kezdeti állapot pontján átmenő izokór görbén kell elhelyezkedjen. Izokór változás esetén
\[\frac{p}{T}=\mathrm{konstans}\]
Ha a hőmérséklet \(T\)-ről \(2T\)-re nő (tehát kelvinben), akkor a nyomás a kezdeti érték 2-szeresére fog növekedni.
Szép akna a feladatban, hogy ilyenkor esetleg hirtelen arra gondolunk, hogy a bezárt gázt csak a dugattyú nyomja (a súlyánál fogva), vagyis a bezárt gáz nyomásával a \(m\) tömegű dugattyú \(m\cdot g\) nagyságú súlyából származó
\[p=\frac{m\cdot g}{A}\]
nagyságú nyomás tart egyensúlyt, ahol \(A\) a dugattyú (és a hengeres tartáyl belső) keresztmetszete.
Csakhogy ez nem igaz, mivel van még \(p_{\mathrm{k}}\) külső nyomás is, más néven a légnyomás. Tehát a légnyomás kezdetben is és a végén is "besegít" az \(m\) tömegű dugattyúnak illetve a dugattyúnak és a nehezéknek, hogy egyensúlyt tartsanak a bezárt gáz nyomásával. Egyenlettel felírva az első eset erőegyensúlyát:
\[p\cdot A=p_{\mathrm{k}}\cdot A+m\cdot g\]
A végén ugyanez az erőegyensúly így néz ki:
\[2p\cdot A=p_{\mathrm{k}}\cdot A+m\cdot g+M\cdot g\]
Mivel mi azt szeretnénk kideríteni, hogy az \(M\) tömeg hogyan viszonyul a \(m\) tömeghez, ezárt ezt az egyenletrendszert úgy kell megoldanunk, hogy a \(M\) tömeget a \(m\) tömeg függvényében kapjuk meg. Tehát az ismeretlen \(p\) belső nyomást el kellene tüntetnünk, vagyis közben "Elimináljuk \(p\)-t!" Ehhez a második egyenlet bal oldalára írjuk be az első egyenlet jobb oldalának 2-szeresét:
\[2\cdot(p_{\mathrm{k}}\cdot A+m\cdot g)=p_{\mathrm{k}}\cdot A+m\cdot g+M\cdot g\]
\[2\cdot p_{\mathrm{k}}\cdot A+2\cdot m\cdot g=p_{\mathrm{k}}\cdot A+m\cdot g+M\cdot g\]
\[p_{\mathrm{k}}\cdot A+m\cdot g=M\cdot g\]
Leosztva mindkét oldalt \(g\)-vel:
\[\frac{p_{\mathrm{k}}}{g}+m=M\]
Ebből egyértelmű, hogy bármekkora is \(p_{\mathrm{k}}\) légnyomás, a \(M\) mindig nagyobb kell legyen, mint a \(m\). (Folyadékokban lehet negatív is nyomás, de gázokban, így a külső levegőben nem lehet.)