a) Mekkor átlagos sebessége van az általunk belélegzett $20\ \mathrm{{}^\circ C}$ hőmérsékletű levegőben az oxigénmolekuláknak? (Vagyis mekkora átlagos sebességgel ütköznek a szemünknek, dobhártyánknak a kellemesen langyos levegő O2‑molekulái?)
\(\left|\overrightarrow{v}\right|=478\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}=1720\ \mathrm{\displaystyle \frac{km}{h}}\)
1. megoldás
Az ekvipartíció‑tétel szerint $T$ hőmérsékleten minden részecske minden szabadsági fokán átlagosan
\[\varepsilon =\frac{1}{2}kT\]
energia van. A haladó mozgást nézve minden molekula 3 szabadsági fokkal rendelkezik:
\[\frac{1}{2}mv^2_x=\frac{1}{2}kT\]
\[\frac{1}{2}mv^2_y=\frac{1}{2}kT\]
\[\frac{1}{2}mv^2_z=\frac{1}{2}kT\]
Az ezen három szabadsági fokon tárolt energiák adják össze a részecske átlagos haladó mozgási energiáját:
\[3\cdot \frac{1}{2}kT=\frac{1}{2}mv^2\]
Egyszerűsítve:
\[3kT=mv^2\]
A $v$ átlagos sebesség meghatározásához tudnunk kell az egyenletben szereplő többi tagot. Nézzük ezeket sorban. A $k$ Boltzmann‑állandó:
\[k=1,38\cdot {10}^{-23}\ \mathrm{\frac{J}{K}}\]
A $T$ hőmérséklet:
\[T=20\ \mathrm{{}^\circ C}=293\ \mathrm{K}\]
Az oxigénmolekula $m$ tömegét az oxigéngáz (kétatomos molekula) moláris tömegből határozhatjuk meg az alapján, hogy $1\ \mathrm{molban}$ Avogadro‑állandónyi részecske van:
\[m_{1\ db\ O_2}=\frac{M_{O_2}}{N_A}\]
Tudjuk, hogy
\[N_A=6,022\cdot {10}^{23}\ \frac{1}{\mathrm{mol}}\]
és hogy
\[M_{O_2}=0,032\ \mathrm{\frac{kg}{mol}}\]
Ezekből:
\[m_{1\ db\ O_2}=\frac{0,032\ \mathrm{\displaystyle \frac{kg}{mol}}}{6,022\cdot {10}^{23}\ \displaystyle \frac{1}{\mathrm{mol}}}\]
\[m_{1\ db\ O_2}=5,31\cdot {10}^{-26}\ \mathrm{kg}\]
Írjuk be az eredeti egyenletbe az összes fenti adatot:
\[3kT=mv^2\]
\[3\cdot 1,38\cdot {10}^{-23}\ \mathrm{\frac{J}{K}}\cdot 293\ \mathrm{K}=5,31\cdot {10}^{-26}\ \mathrm{kg}\cdot v^2\]
\[v^2=228.440\ \mathrm{\frac{m^2}{s^2}}\]
\[v=478\ \mathrm{\frac{m}{s}}=1720\ \mathrm{\frac{km}{h}}\]
2. megoldás
Az ekvipartíció‑tétel szerint $T$ hőmérsékleten minden részecske minden szabadsági fokán átlagosan
\[\varepsilon =\frac{1}{2}kT\]
energia van. A haladó mozgást nézve minden molekula 3 szabadsági fokkal rendelkezik. Az ezeken tárolt átlagos energiák is ekkorák:
\[\frac{1}{2}mv^2_x=\frac{1}{2}kT\]
\[\frac{1}{2}mv^2_y=\frac{1}{2}kT\]
\[\frac{1}{2}mv^2_z=\frac{1}{2}kT\]
Számítsuk ki az egyiket (mindegy melyiket, mondjuk legyen a \(v_x\) sebességkomponens)! Az egyenletét egyszerűsítve:
\[mv^2_x=kT\]
Először is tudnunk kell az egyenlet többi tagját, menjünk sorban.
A $k$ Boltzmann‑állandó:
\[k=1,38\cdot {10}^{-23}\ \mathrm{\frac{J}{K}}\]
A $T$ hőmérséklet:
\[T=20\ \mathrm{{}^\circ C}=293\ \mathrm{K}\]
1 db oxigénmolekula tömegét az oxigéngáz (kétatomos molekula) moláris tömegből határozhatjuk meg az alapján, hogy $1\ \mathrm{molban}$ Avogadro‑állandónyi részecske van:
\[m_{1\ db\ O_2}=\frac{M_{O_2}}{N_A}\]
Tudjuk, hogy
\[N_A=6,022\cdot {10}^{23}\ \frac{1}{\mathrm{mol}}\]
és hogy
\[M_{O_2}=0,032\ \mathrm{\frac{kg}{mol}}\]
Ezekből:
\[m_{1\ db\ O_2}=\frac{0,032\ \mathrm{\displaystyle \frac{kg}{mol}}}{6,022\cdot {10}^{23}\ \displaystyle \frac{1}{\mathrm{mol}}}\]
\[m_{1\ db\ O_2}=5,31\cdot {10}^{-26}\ \mathrm{kg}\]
Az adatokat beírva az eredeti egyenletbe:
\[mv^2_x=kT\]
\[5,31\cdot {10}^{-26}\ \mathrm{kg}\cdot v^2_x=1,38\cdot {10}^{-23}\ \mathrm{\frac{J}{K}}\cdot 293\ \mathrm{K}\]
\[v^2_x=76\ 091\ \mathrm{\frac{m^2}{s^2}}\]
\[v_x=277\ \mathrm{\frac{m}{s}}=993\ \mathrm{\frac{km}{h}}\]
De ez még csak az egyik (átlagos) sebességkomponens, az $x$ irányú . A molekula ugyanekkora átlagos sebességkoponenssmel rendelkezik az $y$ irányban is, és a $z$ irányban is ($v_y$ és $v_z$). A teljes sebességet ezekből úgy számíthatjuk ki, hogy ezen sebességkomponenseket térben (vektoriálisan) összeadjuk. A $v_x$, $v_y$ és $v_z$ sebességkomponenesek egy kocka egyik csúcsából egymásra merőlegesen induló éleken vannak:
Először számítsuk ki, hogy a $v_x$ és a $v_y$ komponenseknek mekkora a vektori összege!
Látjuk, hogy ez az összeg egy négyzet átlója, amit a kocka lapátlója lévén $Á_l$ szimbólumal illethetünk.
Pitagorasz‑tétellel számítsuk ki, hogy egy négyzet lapátlója hányszor nagyobb a négyzet élhosszánál:
\[1^2+1^2=Á^2_l\]
\[2=Á^2_l\]
\[Á_l=\sqrt{2}\]
Ezzel tehát megkaptuk, hogy a $v_x$ és a $v_y$ komponenseknek a vektori összege $\sqrt{2}$‑ször nagyobb, mint az egyes komponensek:
\[\left|{\overrightarrow{v}}_x+{\overrightarrow{v}}_x\right|=\sqrt{2}\cdot \left|{\overrightarrow{v}}_x\right|\]
De ez még nem a teljes $\overrightarrow{v}$ sebességvektornak a nagysága, hisz ehhez még hozzá kell adni a ${\overrightarrow{v}}_z$ sebességkomponenst is vektoriálisan. Ehhez nézzük a kocka ferde felezősítját:
Az arányok meghatározásához ismét felírhatjuk a Pithagorasz‑tételt az egységnyi élhosszúságú kocka esetét folytatva:
\[1^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2={\left|\overrightarrow{v}\right|}^2\]
\[\left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{3}\]
Azt kaptuk tehát, hogy a gázmolekula $v$ sebessége a derékszögű sebességkomponenseknél $\sqrt{3}$‑szor nagyobb, vagyis az oxigénmolekulák átlagos sebessége:
\[\left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{3}\cdot \left|{\overrightarrow{v}}_x\right|\]
Helyettesítsük be ebbe a $v_x$ sebességkomponensre korábban kapott értéket:
\[\left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{3}\cdot 277\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
\[\left|\overrightarrow{v}\right|=478\ \mathrm{\frac{m}{s}}=1720\ \mathrm{\frac{km}{h}}\]
b) A földi légkörben a xenongáz aránya $9\cdot 10^{-5}\ \mathrm{V/V\%}$; a xenon rendszáma 54, moláris tömege \(\displaystyle 131,3\ \mathrm{\frac{g}{mol}}\). Mekkora a xenon atomok átlagos sebessége $20\ \mathrm{{}^\circ }$‑on?
\(\left|\overrightarrow{v_{átl}}\right|=235,9\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}=849,2\ \mathrm{\displaystyle \frac{km}{h}}\)
Az ekvipartíció‑tétel szerint $T$ hőmérsékleten minden részecske minden szabadsági fokán átlagosan
\[\varepsilon =\frac{1}{2}kT\]
energia van. Minden molekula 3 haladó mozgási szabadsági fokkal rendelkezik. Az ezeken tárolt átlagos energiák is ekkorák:
\[\frac{1}{2}mv^2_x=\frac{1}{2}kT\]
\[\frac{1}{2}mv^2_y=\frac{1}{2}kT\]
\[\frac{1}{2}mv^2_z=\frac{1}{2}kT\]
Számítsuk ki az egyiket (mindegy melyiket)! Ehhez tudnunk kell 1 db xenonatom (egyatomos molekula) tömegét. Ezt a xenon moláris tömegből határozhatjuk meg az alapján, hogy $1\ \mathrm{molban}$ Avogadro‑állandónyi részecske van:
\[m_{1\ db\ Xe}=\frac{M_{Xe}}{N_A}\]
Tudjuk, hogy
\[N_A=6,022\cdot {10}^{23}\ \frac{1}{\mathrm{mol}}\]
és hogy
\[M_{Xe}=131,3\ \mathrm{\frac{g}{mol}}=0,1313\ \mathrm{\frac{kg}{mol}}\]
Ezeket beírva:
\[m_{1\ db\ Xe}=\frac{0,1313\ \mathrm{\displaystyle \frac{kg}{mol}}}{6,022\cdot {10}^{23}\ \displaystyle \frac{1}{\mathrm{mol}}}\]
\[m_{1\ db\ Xe}=0,0218\cdot {10}^{-23}\ \mathrm{kg}\]
\[m_{1\ db\ Xe}=2,18\cdot {10}^{-25}\ \mathrm{kg}\]
Írjuk be:
\[\frac{1}{2}mv^2_x=\frac{1}{2}kT\]
\[mv^2_x=kT\]
\[2,18\cdot {10}^{-25}\ \mathrm{kg}\cdot v^2_x=kT\]
Írjuk be a hőmérsékletet és a Boltzmann‑állandót is:
\[T=20\ \mathrm{{}^\circ C}=293\ \mathrm{K}\]
\[k=1,38\cdot {10}^{-23}\ \mathrm{\frac{J}{K}}\]
\[2,18\cdot {10}^{-25}\ \mathrm{kg}\cdot v^2_x=1,38\cdot {10}^{-23}\ \mathrm{\frac{J}{K}}\cdot 293\ \mathrm{K}\]
\[v^2_x=18.548\ \mathrm{\frac{m^2}{s^2}}\]
\[v_x=136,2\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
Az előző kérdésben levezettük, hogy a gázmolekula $v$ sebessége a derékszögű sebességkomponenseknél $\sqrt{3}$‑szor nagyobb, ez alapján a xenonatomok átlagos sebessége:
\[\left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{3}\cdot \left|{\overrightarrow{v}}_x\right|\]
\[\left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{3}\cdot 136,2\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
\[\left|\overrightarrow{v}\right|=235,9\ \mathrm{\frac{m}{s}}=849,2\ \mathrm{\frac{km}{h}}\]
c) Az előbbi levegőből mozgatható dugattyús fémtartályba zárunk $4\ \mathrm{liternyi}$ mennyiséget. Ezután a dugattyú benyomásával nagyon lassan addig komprimáljuk (nyomjuk össze) a gázt, amíg a nyomása az eredeti $10^5 \mathrm{Pa}$‑ról annak 3‑szorosára nő. A fémtartály kornyezete mindvégig $20\ \mathrm{{}^\circ C}$ hőmérsékletű. Mekkora lesz ekkor a levegőben található xenonatomok átlagos sebessége?
Változatlan marad.
A levezetésben sehol nem szerepel a gáz nyomása, így erős lehet a gyanúnk, hogy ez is egy lényegtelen (irreleváns) adat.
Az ekvipartíció alapján a molekula minden szabadsági fokára
\[\varepsilon=\frac{1}{2}kT\]
energia jut, ami például az x-irányú sebesség miatti haladó mozgási energiával is egyenlő:
\[\frac{1}{2}kT=\frac{1}{2}m{v_x}^2\]
A többi (y‑irányú és z‑irányú) haladó mozgási sebesség ($v_y$ és $v_z$) is így adódik. Ezek vektori összege pedig megadja az átlagsebességet.
Így a molekula átlagsebessége kizárólag a hőmérséklettől és a molekulatömegtől függ.
d) Egy gázban különféle tömegű gázmolekulák vannak (gázkeverék). Képzeletben kiválasztunk két gázmolekulát, az egyik 5‑ször nagyobb tömegű, mint a másik (a neon és a hélium nagyjából ilyenek). Melyiknek nagyobb az átlagos sebessége és hányszor a másikhoz képest iletve hány $\%$‑a az 5‑ször nehezebb molekula átlagos sebessége a könnyebb molekuláénak?
A kisebb tömegűnek nagyobb az átlagos sebessége, méghozzá \(\sqrt{5}\)‑szörösen.
Az ekvipartíció‑tétel szerint $T$ hőmérsékleten minden részecske minden szabadsági fokán átlagosan
\[\varepsilon =\frac{1}{2}kT\]
energia van. Minden molekula 3 haladó mozgási szabadsági fokkal rendelkezik. Az ezeken tárolt átlagos energiák is ekkorák:
\[\frac{1}{2}mv^2_x=\frac{1}{2}kT\]
\[\frac{1}{2}mv^2_y=\frac{1}{2}kT\]
\[\frac{1}{2}mv^2_z=\frac{1}{2}kT\]
A molekula $v$ sebességéhez ezeket a $v_x$, $v_y$, $v_z$ sebességkomponenseket vektoriálisan össze kell adni. Az 1. kérdésben található levezetés szerint a $v$ sebesség a sebességkomponeneseknél $\sqrt{3}$‑szor nagyobb:
\[v=\sqrt{3}\cdot v_x=\sqrt{3}\cdot v_y=\sqrt{3}\cdot v_z\]
Rendezzük ki a
\[\frac{1}{2}mv^2_x=\frac{1}{2}kT\]
egyenetet a $v_x$ sebességkomponenesre:
\[mv^2_x=kT\]
\[v^2_x=\frac{kT}{m}\]
\[v_x=\sqrt{\frac{kT}{m}}\]
A molekula $v$ sebessége ez alapján:
\[v=\sqrt{3}\cdot v_x\]
\[v=\sqrt{3}\cdot \sqrt{\frac{kT}{m}}\]
\[v=\sqrt{\frac{3kT}{m}}\]
\[v=\sqrt{3kT}\cdot \frac{1}{\sqrt{m}}\]
A két gázmolekula esetében csak a tömegek térnek el. Azt látjuk, hogy a $v$ sebesség az $m$ molekulatömeg négyztegyökével fordítottan arányos:
\[v\sim \frac{1}{\sqrt{m}}\]
Emiatt a nagyobb tömegű molekula sebessége kisebb lesz (szemléletesen szólva ő "nehezebben mozog"), méghozzá ha 5‑ször nagyobb tömegű, akkor $\sqrt{5}$‑ször kisebb lesz a sebessége, vagyis
\[\sqrt{5}\approx 2,236\]
alapján 2,236‑szor kisebb lesz, vagy másként fogalmazva
\[\frac{1}{\sqrt{5}}\approx 0,447=44,7\%\]
az 5‑ször nehezebb molekula a könnyebb sebességének 44,7%‑ával repül átlagosan.
e) Milyen hőmérsékletre kell felmelegíteni a kezdetben $20\ \mathrm{{}^\circ C}$‑os gázt, hogy a molekuláinak átlagos sebessége az eredeti triplájára növekedjen?
\(T_2=2637\ \mathrm{K}=2364\ \mathrm{{}^\circ C}\)
Az előző kérdésben láttuk, hogy a $v$ átlagos molekulasebességet az alábbi összefüggés adja:
\[v=\sqrt{\frac{3kT}{m}}\]
Jelölje 1‑es alsó index a kezdeti állapotot, a 2‑es alsó index pedig a végső állapotot:
\[v_1=\sqrt{\frac{3kT_1}{m}}\]
\[v_2=\sqrt{\frac{3kT_2}{m}}\]
Ugyanakkor tudjuk, hogy a sebesség a végére a kezdeti érték triplájára nőtt:
\[v_2=3v_1\]
Így az egyenletrendszerünk így alakul:
\[v_1=\sqrt{\frac{3kT_1}{m}}\]
\[3v_1=\sqrt{\frac{3kT_2}{m}}\]
Emelejük négyzetre mindkét egyenletet:
\[v^2_1=\frac{3kT_1}{m}\]
\[9v^2_1=\frac{3kT_2}{m}\]
Osszuk el a második egyenletet az elsővel:
\[9=\frac{T_2}{T_1}\]
\[T_2=9T_1\]
Tehát 9‑szeresre kell növelni a hőmérsékletet. Akkor az $20\ \mathrm{{}^\circ C}$‑ról $180\ \mathrm{{}^\circ C}$‑ra növelést jelent? Nem, mert az elvipartícióban a $T$ hőmérséklet mindig abszolút húmérsékleti skálán értendő, vagyis $\mathrm{kelvinben}$. Ez alapján
\[T_1=20\ \mathrm{{}^\circ C}=293\ \mathrm{K}\]
\[T_2=9T_1=2637\ \mathrm{K}=2364\ \mathrm{{}^\circ C}\]
tehát $2364\ \mathrm{{}^\circ C}$‑ra kell melegíteni a $20\ \mathrm{{}^\circ C}$‑os gázt, hogy háromszorosára nőjön a molekulái átlagos sebessége.
Amúgy nem "zavar be", hogy ezen a magas hőmérsékleten esetleg már aktiválódnak a rezgési (vibrációs) szabadsági fokok is? Nem, mert a molekula rezgése nem befolyásolja, hogy a haladó mozgás szabadsái fokain
\[\varepsilon=\frac{1}{2}kT\]
energia van átlagosan, tehát a fenti levezetésünk semmit nem változik attól, hogy a rezgési szabadsági foko "bekapcsolnak".
f) Legyen a gázkeverék most $30\ \mathrm{{}^\circ C}$ hőmérsékletű! Az 1‑es jelzésű molekula átlagos sebessége 3‑szor akkora, mint a 2‑es jelzésű molekuláé. Hányszor akkora a 2‑es molekula tömege az 1‑eshez képest?
\(m_2=9m_1\)
A $30\ \mathrm{{}^\circ C}$‑os hőmérséklet adatnak semmi szerepe.
Nézzük megint az átlagos molekulasebesség képletét:
\[v=\sqrt{\frac{3kT}{m}}\]
Jelöljük meg 1‑es és 2‑es alsó indexszel a molekulákat:
\[v_1=\sqrt{\frac{3kT}{m_1}}\]
\[v_2=\sqrt{\frac{3kT}{m_2}}\]
Most az 1‑es jelzésű molekula átlagos sebessége 3‑szor akkora, mint a 2‑es jelzésű molekuláé:
\[v_1=3v_2\]
Ezzel az egyenletrendszerünk:
\[3v_2=\sqrt{\frac{3kT}{m_1}}\]
\[v_2=\sqrt{\frac{3kT}{m_2}}\]
Emeljük négyzetre az egyenleteket:
\[9v^2_2=\frac{3kT}{m_1}\]
\[v^2_2=\frac{3kT}{m_2}\]
Osszuk el az első egyenletet a másodikkal:
\[9=\frac{3kT}{m_1}\cdot \frac{m_2}{3kT}\]
\[9=\frac{m_2}{m_1}\]
\[m_2=9m_1\]
Tehát a 9‑szer nehezebb molekulának lesz 3-szor kisebb a sebessége.