Az \(M=6\ \mathrm{kg}\) tömegű és \(\alpha=20{}^\circ\) hajlásszögű ékre \(m=3\ \mathrm{kg}\) tömegű hasábot helyezünk, súrlódás sehol sincs. Az ékre akkora $F_1$ vízszintes erővel hatunk, hogy a hasáb az ékhez képest tartósan nyugalomban lesz.
a) Mekkora erő ébred az ék és a hasáb között?
\(F=31,925\ \mathrm{N}\)
Az, hogy a hasáb nem mozdul az ékhez képest, ez csak úgy lehetséges, ha az ék és a hasáb azonos gyorsulással mozognak. Márpedig az ékről feltételezhetjük, hogy vízszintesen fog mozogni. Miért? Mert ha nem mozogna vízszintesen, akkor "fel kellene borulnia" (ami megfelelő nagyságú és megfelelő magasságban ható $F_1$ erő sesetén tényleg bekövetkezhet), de ez esetben a vele érintkező hasáb (aki hozzá egy súrlódásmentes felületen keresztül érintkezik), az mindenképp el fog mozdulni.
Vegyük számba, milyen erők hatnak a főszereplő hasábra!
Az ék által a hasábra kifejetett erőt azért vettük az ék síkjára merőlegesnek, mert a felületek között ébredő erőt definíciószerűen mindig két komponense bontjuk fel, amik közül a felületre merőleges összetevőt nevezzük nyomóerőnek, a felülettel párhuzamos összetevőt pedig súrlódásnak. Mivel a feladatban sehol sincs súrlódás, ezért az ék és a hasáb között ébredő erőnek nem lehet a felülettel párhuzamos összetevője, vagyis ő teljes egészében csak merőleges nyomóerő lehet.
A hasábra tehát két erő hat: az ék általi merőleges nyomóerő valamint a nehézségi erő. Ezen két erő hatására fog a hasáb vízszintes gyorsulással mozogni. Vagyis a hasáb függőleges gyorsulása nulla kell legyen. Írjuk fel a hasáb függőleges mozgására a dinamika alapegyenletét, felfelé véve a pozitív függőleges irányt:
\[\mathit{\Sigma}F_y=m\cdot a_y\]
A hasábra ható nyomóerő ferde, ezért fel kell bontanunk függőleges és vízszintes komponensekre. (Azért mindent függőleges és vízszintes komponensekre bontunk, nem pedig lejtővel párhuzamos és lejtőre merőleges komponensekre, mert a hasáb gyorsulása vízszintes, nem pedig lejtő irányú vagy lejtőre merőleges. Amikor a test mondjuk lecsúszik a lejtőn, olyankor a gyorsulása lejtővel párhuzamos, és olyankor az erőket is érdemes ilyen rendszer szerintm azaz lejtőirányú és lejtőre merőleges összetevőkre bontani.)
A komponensek nagyságához tisztáznunk kell, mekkora szöget zárnak be a nyomóerő és a komponensei. Elsőként vegyük észre az alábbi váltószöget:
Majd az alábbi pótszöget:
Ennek a pótszögnek a pótszöge nekünk fontos, hiszen a nyomóerő és annak függőleges összetevője között van:
Mivel az általuk alkotott háromszög derékszögű, ezért trigonometrikus összefüggést írhatunk fel közöttük:
\[F_y=F\cdot {\cos{\alpha}}\]
\[F_x=F\cdot {\sin{\alpha}}\]
Most már visszatérhetünk a hasáb függőleges mozgásának dinamikai alapegyenletéhez:
\[\mathit{\Sigma}F_y=m\cdot a_y\]
\[F_y+m\cdot g=m\cdot a_y\]
\[F\cdot {\cos{\alpha}}+3\ \mathrm{kg}\cdot \left(-10\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}\right)=3\ \mathrm{kg}\cdot 0\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}\]
A $g$ nehézségi gyorsulás amiatt negatív, mert lefelé irányú, míg mi felfelé vettük pozitívnak a függőleges irányt.
\[F\cdot {\cos{20{}^\circ}}-30\ \mathrm{N}=0\]
\[F\cdot 0,9397=30\ \mathrm{N}\]
\[F=31,925\ \mathrm{N}\]
b) Mekkora \(F_1\) erővel kell tolnunk az éket, hogy a hasáb ne mozduljon meg rajta?
\(F_1=32,755\ \mathrm{N}\)
Eddig csak azt használtuk ki, hogy a hasáb gyorsulása csak vízszintes összetevőt tartalmaz, vagyis a függőleges gyorsulása nulla. De azt még nem használtuk ki, hogy a hasáb ugyanakkor gyorsulással mozog, mint az ék. Tehát a két gyorsulást egyenlővé tehetnénk:
\[a^{\mathrm{ék}}_x=a^{\mathrm{hasáb}}_x\]
Az ék gyorsulását az ékre ható erők határozzák meg, ezért végig kell gondolnunk, milyen erők hatnak az ékre. Összesen 4 erő hat az ékre:
- $F_1$ tolóerő
- $F$ nyomóerő (a hasáb fejti ki)
- $m\cdot g$ nehézségi erő
- $F_{\mathrm{tar}}$ tartóerő (az asztal fejti ki)
Azonban jelenleg nem kell mindegyikkel foglalkoznunk, ugyanis az ék gyorsulása vízszintes, így azt csak az ékre ható erők közül a vízszintesek befolyásolják. Márpedig a nehézségi és a tartóerő függőlegesek.
Írjuk fel a hasábra és az ékre a vízszintes irányban a dinamika alapegyenletét! Ehhez válasszuk mondjuk jobbra a pozitív irányt! Kezdjük a hasábbal:
\[\mathit{\Sigma}F_x=m\cdot a^{\mathrm{hasáb}}_x\]
\[F_x=m\cdot a^{\mathrm{hasáb}}_x\]
\[F\cdot {\sin{\alpha}}=m\cdot a^{\mathrm{hasáb}}_x\]
\[31,925\ \mathrm{N}\cdot {\sin{20{}^\circ}}=3\ \mathrm{kg}\cdot a^{\mathrm{hasáb}}_x\]
\[31,925\ \mathrm{N}\cdot 0,342=3\ \mathrm{kg}\cdot a^{\mathrm{hasáb}}_x\]
\[a^{\mathrm{hasáb}}_x=3,63945\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}\]
Írjuk fel az ék vízszintes mozgására a dinamika alapegyenletét:
\[\mathit{\Sigma}F_x=M\cdot a^{\mathrm{ék}}_x\]
\[F_1-F_x=M\cdot a^{\mathrm{ék}}_x\]
Az ékre ható $F_x$ nyomóerő amiatt negatív, mert rá a hasábra ható nyomóerő ellenereje hat, márpedig az erő és elllenerő mindig ellentétes irányúak, így a komponenseik ellentétes előjelűek:
Írjuk be az adatainkat, közte azt is, hogy a két test gyorsulása azonos, vagyis az éké is annyi amennyit az előbb a hasábra kiszámoltunk:
\[a^{\mathrm{ék}}_x=a^{\mathrm{hasáb}}_x=3,63945\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}\]
\[F_1-31,925\ \mathrm{N}\cdot {\sin{20{}^\circ}}=6\ \mathrm{kg}\cdot 3,63945\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}\]
\[F_1-31,925\ \mathrm{N}\cdot 0,342=21,8367\ \mathrm{N}\]
\[F_1=32,755\ \mathrm{N}\]
c) Mekkora erő hat a hasáb és az az alatta lévő test (asztal vagy padló) között?
$90\ \mathrm{N}$
Első ránézésre bonyolultnak tűnhet a kérdés, mivel az ék és a hasáb nyomják egymást. De ha jobban belegondolunk, a kérdéses erő (az ék és az asztal között ébredő) az csak függőleges lehet, hiszen az ék és az asztal között sincs súrlódás. Tehát a megválaszolásához elegendő a függőleges irányt végiggondolnunk.
Vegyük az általunk vizsgált rendszernek az ék és a hasáb együttesét! Ez a rendszer $9\ \mathrm{kg}$ tömegű. A tömegközéppontja vízszintes gyorsulással rendelkezik, azaz a tömegközéppontjának függőleges gyorsulása nulla. Egy rendszer tömegközéppontjának függőleges gyorsulását a rendszerre ható külső erők határozzák meg (a belső erők nem, hiszen azok erő‑ellenerő párokat alkotnak, és kioltják egymást).
Milyen függőleges irányú, külső erők hatnak a rendszerre? Csak a nehézségi erő és az asztal által kifejtett felfelé irányú tartóerő. Az ék és a hasáb közötti nyomóerők egy erő-ellenerő párt alkotnak, így a rendszerünk tömegközéppontjának mozgása szempontjából kioltják egymást. Vagyis a kérdés az, hogy mekkorának kell lennie a tartóerőnek, ha a függőlegesen lefelé ható $90\ \mathrm{N}$ nehézségi erővel közösen azt eredményezik, hogy a rendszer tömegközéppontja függőlegesen nulla gyorsulást szenvedjen el? Még számolást sem igényel, hogy szintén $90\ \mathrm{N}$ nagyságúnak, csak felfelé irányulónak.