a)  Mekkora a rugó rugóállandója?

\(\displaystyle 625\ \mathrm{\frac{N}{m}}\)

A rugóállandó az egységnyi deformációra (megnyúlásra vagy összenyomódásra) eső rugóerő:

$$D=\frac{F_{\mathrm{R}}}{\Delta l}$$

Amikor az $50\ \mathrm{dkg}$-os test súlya alatt összenyomódik a rugó, akkor a testre lefelé hat az $mg$ nehézségi erő, felfelé pedig tartja a rugóerő. A kettő egyensúlyban van, hiszen nyugalomban van a test, vagyis azonos nagyságúak:

$$F_{\mathrm{R}}=mg$$

Az adatokat SI egységben beíva:

$$F_{\mathrm{R}}=0,5\cdot 10$$

$$F_{\mathrm{R}}=5\ \mathrm{N}$$

Az összenyomódás (deformáció):

$$\Delta l=l_1-l_0$$

$$\Delta l=10\ \mathrm{mm}-18\ \mathrm{mm}$$

$$\Delta l=-8\ \mathrm{mm}$$

$$\Delta l=-0,008\ \mathrm{m}$$

A negatív előjel azt jelzi, hogy a rugó hossza csökkent, de a mi szempontunkból ennek az előjelnek nincs jelentősége, hiszen a rugóban mind összenyomás, mind megnyúlás hatására ébredhet rugóerő. Tehát a deformáció:

$$\Delta l=0,008\ \mathrm{m}$$

Ezek alapján a rugóállandó:

$$D=\frac{F_{\mathrm{R}}}{\Delta l}$$

Az adatokat SI-egységben beírva:

$$D=\frac{5}{0,008}$$

$$D=625\ \mathrm{\frac{N}{m}}$$

b)  Mekkora energia tárolódik a rugóban, amikor a képen látható nehezék súlya hatására összenyomódik?

\(E_R=0,02\ \mathrm{J}\)

 1. megoldás 

Használjuk a rugóenergia képletét:

$$E_{\mathrm{R}}=\frac{1}{2}D(\Delta l)^2$$

Az adatokat az előző kérdésben kiszámoltuk, így már csak be kell írni, SI-egységben a mértékegységek elhagyhatók:

$$E_{\mathrm{R}}=\frac{1}{2}\cdot 625\cdot (0,008)^2$$

$$E_{\mathrm{R}}=0,02\ \mathrm{J}$$
 

 2. megoldás 

Gondolkodhatunk úgy is, hogy amikor a testet a deformálatlan rugóra helyezzük, akkor a testnek még nagyobb helyzeti energiája van, mint a végén, mint amikor a végén a rugót összenyomva nyugalomban kerül. Ferlmerülhet bennünk a gondolat, hogy eközben a test helyzeti energiájának csökkenése rugóenergiává alakul, rugóenergiaként tárolódik el. Másképp mondva, a helyzeti energia és a rugóenergia összege (a mechanikai energia) állandó:

$$E^{\mathrm{helyz}}_1+E^{\mathrm{rugó}}_1=E^{\mathrm{helyz}}_2+E^{\mathrm{rugó}}_2$$

Vegyük figyelembe, hogy a rugó kezdetben deformálatlan, így nincs kezdeti rugóenergia, valamint vegyük a helyzeti energia nullszintjét a test végső állapotának magasságába, így $E^{\mathrm{helyz}}_2=0$ lesz: 

$$E^{\mathrm{helyz}}_1=E^{\mathrm{rugó}}_2$$

$$mg\Delta l=E^{\mathrm{rugó}}_2$$

Az adatokat SI-egységben beírva:

$$E^{\mathrm{rugó}}_2=0,5\cdot 10\cdot 0,008$$

$$E^{\mathrm{rugó}}_2=0,04$$

Ez láthatóan más eredmény, vagyis nem stimmel. Mi a probléma a gondolatmenettel? Az, hogy ha a testet kezdetben nyugalomban elengedjük a deformálatlan rugóra helyezve, akkor lesüllyedve nem fog megállni ott, ahol a legvégén erőegyensúlyba kerül, hanem az egyensúlyi helyzet körül rezgéseket fog végezni. Tehát a kezdeti helyzeti energiája nem teljes egészében rugóenergiává fog alakulni, hanem rugóenergiává és mozgási energiává. Egy, az egyensúlyi helyzeténél mélyebb állapotban fog megállni egy pillanatra. Ahhoz, hogy nyugalomba kerüljön az egyensúlyi helyzetben el kell veszítse a kezdeti energia felét, méghozzá disszipáció (szétszóródás) révén, ahogy a légellenállás következtében átad energiát a levegőnek.

c)  Ha ezt a golyóstoll rugót egy kis játékpuskába szerelve kilövőnek használjuk, akkor a feladat elején szereplő mértékben összenyomott állapotból mekkora sebességre gyorsítana egy fél cm élhosszúságú vaskockát? A vas tömegsűrűsége \(\displaystyle \varrho = 7800\ \mathrm{\frac{kg}{m^3}}\)

\(\displaystyle v=6,4\ \mathrm{\frac{m}{s}}=23\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)