a)  Milyen hosszan összenyomható rugót kellene a villamos végállomására ütközőként telepíteni, ha azt szeretnénk, hogy az utasok ne "törjék össze" magukat a hirtelen fékezéstől "elrepülve", vagyis csak a vészfékezésre jellemző \(\displaystyle 2,57\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\) nagyságú gyorsulással lassuljon a villamos, ami a megengedett maximális sebességével (\(\displaystyle 50\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)-val) érkezik a végállomásra?

\(\Delta l=75,06\ \mathrm{m}\)

Ha a villamos nekimegy a rugónak, akkor nem egyenletesen fog lassulni, mivel a rugóerő a deformációval egyenesen arányosan növekszik. Ahogy egyre jobban összenyomódik a rugó, egyre nagyobb erőt fejt ki a villamosra, így egyre nagyobb gyorsulást okoz neki. Ezért a rugónak úgy kell lelassítania a villamost, hogy a villamos gyorsulása a legnagyobb összenyomódás esetén érje el a maximálisan megengedett gyorsulást, ami

$$a_{\mathrm{max}}=2,57\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}$$

Ebből ki tudjuk számítani, hogy a maximális összenyomódás esetén mekkora kell legyen a rugóerő:

$$F_{\mathrm{max}}=m\cdot a$$

Az adatokat SI-egységben beírva:

$$F_{\mathrm{max}}=90\ 000\cdot 2,57$$

$$F_{\mathrm{max}}=231\ 300\ \mathrm{N}$$

Mivel a rugóerő az elmozdulás szerint egyenletesen növekszik, ezért a rugóerő munkáját számíthatjuk az átlagos rugóerővel (de ez furcsa módon nem idő szerinti átlag, hanem elmozdulás szerinti átlag). Tehát az átlagos rugóerő:

$$F_{\mathrm{átl}}=115\ 650\ \mathrm{N}$$

És ez $\Delta l$ úton végez munkát, tehát a rugóerő munkavégzése:

$$W_{\mathrm{R}}=-F_{\mathrm{átl}}\cdot \Delta l$$

Ami amiatt negatív előjelű, mivel a rugóerő a villamost lassítva az elmozdulással ellentétes irányú erőt fejt ki.

A munkatétel szerint a rugóerő munkavégzésének el kell vennie a villamos kezdeti mozgási energiáját:

$$W_{\mathrm{R}}=\Delta E^{\mathrm{mozg}}$$

ami pedig:

$$\Delta E^{\mathrm{mozg}}=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_0^2$$

A végsebesség nulla, hiszen a cél a villamos megállítása, így:

$$\Delta E^{\mathrm{mozg}}=-\frac{1}{2}mv_0^2$$

A kezdősebesség SI-be átváltva:

$$v_0=50\ \mathrm{\frac{km}{h}}=\frac{50}{3,6}\ \mathrm{\frac{m}{s}}=13,9\ \mathrm{\frac{m}{s}}$$

Az adatokat a munkatételbe SI-egységben beírva:

$$W_{\mathrm{R}}=\Delta E^{\mathrm{mozg}}$$

$$115\ 650\cdot \Delta l=\frac{1}{2}\cdot 90\ 000\cdot 13,9^2$$

$$\Delta l=75,06\ \mathrm{m}$$

Önmagában egy ilyen rugónak nem sok értelme lenne, hiszen az összenyomódása során ugyan lelassítaná a villamost, de amint a villamos megállna, a folyamat megfordulna, és "kilökné", felgyorsdítva az eredeti sebességére. Ahhoz, hogy a villamos megálljon, el is kell nyeletni (disszipálni) a kezdeti mozgási energiáját. Ezt a lengéscsillapítókban úgy valósítják meg, hogy az összenyomódáskor egy kellően kis méretű nyílásom a szerkezet átprésel némi olajat, miközben az olaj felmelegszik.

b)  Mekkora rugóállandójú kellene legyen ez az ütközőbe épített rugó?

$\displaystyle D=3082\ \mathrm{\frac{N}{m}}$

Mekkora a rugóállandója annak a rugónak, amiben $\Delta l=75,06\ \mathrm{m}$ deformáció esetén $F_{\mathrm{max}}=231\ 300\ \mathrm{N}$ rugóerő ébred? Ezt a rugóállandó definíciójából kiszámolhatjuk:

$$D=\frac{F_{\mathrm{R}}}{\Delta l}$$

Az adatokat SI-egységben, a mértékegységek elhagyásával beírva:

$$D=\frac{231\ 300}{75,06}$$

$$D=3082\ \mathrm{\frac{N}{m}}$$