a)  Egy $20\ \mathrm{cm}$ fókusztávolságú gyűjtőlencsétől $10\ \mathrm{cm}$ távolságban van a tárgy. Mekkora lesz a képtávolság? Valódi vagy virtuális kép keletkezik? Hányszorosan nagyított illetve kicsinyített kép keletkezik? Egyenes vagy fordított állású a keletkezett kép?

\(k=-20\ \mathrm{cm}\)

\(\hookrightarrow \) virtuális a kép (mert \(k<0\))

\(N=2\)

\(\hookrightarrow\) 2‑szeresen nagyított a kép (nagyított, mert \(\left|N\right|>1\))

\(\hookrightarrow\) egyenes állású a kép (mert \(N>0\))

A feladat megoldásához a leképezési törvényt fogjuk alkalmazni:

\[\frac{1}{f}=\frac{1}{t}+\frac{1}{k}\]

Ha előre megállapodunk, hogy minden adatot $\mathrm{cm}$‑ben írunk be, (így az ismeretlent, jelen esetben a $k$ képtávolságot is $\mathrm{cm}$‑ben fogjuk megkapni), akkor a mértékegységeket elhagyhatjuk.

A leképezési törvény alkalmazásakor figyelni kell az előjelszabályokra. A gyújtőlencse a rá eső, az optikai tengellyel párhuzamos sugarakat összegyűjti, ezért az $f$ fókusztávolságát pozitív előjellel kell beírni:

\[f=20\]

A $t$ tárgytávolság valódi tárgy esetén pozitív, így:

\[t=10\]

Írjuk be ezeket a leképezési törvénybe:

\[\frac{1}{f}=\frac{1}{t}+\frac{1}{k}\]

\[\frac{1}{20}=\frac{1}{10}+\frac{1}{k}\]

\[\frac{1}{20}-\frac{1}{10}=\frac{1}{k}\]

\[\frac{1}{20}-\frac{2}{20}=\frac{1}{k}\]

\[-\frac{1}{20}=\frac{1}{k}\]

\[k=-20\ \mathrm{cm}\]

Mivel a képtávolság negatív, ezért virtuális a kép.

A nagyítás:

\[N=-\frac{k}{t}\]

\[N=-\frac{-20}{10}\]

\[N=2\]

Ebből kétféle következtetést vonhatunk le. Egyrész megnézzük az $N$ nagyítás abszolút értékét, hogy 1‑nél nagyobb‑e:

\[\left|N\right|=2>1\]

vagyis a kép nagyított, méghozzá 2‑szeresen.

És megnézzük az $N$ nagyítás előjelét: a nagyítás értéke pozitív, ami azt jelenti, hogy a kép egyenes állású.

A keletkező kép "emberi szemmel feldolgozható"; ez az ún. lupe üzemmód, amikor gyűjtőlencse fókusztávolságán belül lévő tárgyról nagyított, egyenes állású virtuális kép keletkezik. Így vizsgálják az ékszerészek az ékszereken az apróságokat, a lencséhez közel téve a tárgyat.

b)  Egy $20\ \mathrm{cm}$ fókusztávolságú gyűjtőlencsétől $20\ \mathrm{cm}$ távolságban van a tárgy. Mekkora lesz a képtávolság? Valódi vagy virtuális kép keletkezik? Hányszorosan nagyított illetve kicsinyített kép keletkezik? Egyenes vagy fordított állású a keletkezett kép?

Nem keletkezik kép (a lencsét olyan sugarak hagyják el, melyek egymással párhuzamosak).

Írjuk fel a leképezési törvényt, továbbra is mindent $\mathrm{cm}$‑ben értve, így a mértékegységeket elhagyva:

\[\frac{1}{f}=\frac{1}{t}+\frac{1}{k}\]

A $f$ fókusztávolságunk továbbra is pozitív előjelű:

\[f=20\]

A $t$ tárgytávolság most:

\[t=20\]

Írjuk be ezeket a leképezési törvénybe:

\[\frac{1}{f}=\frac{1}{t}+\frac{1}{k}\]

\[\frac{1}{20}=\frac{1}{20}+\frac{1}{k}\]

\[\frac{1}{20}-\frac{1}{20}=\frac{1}{k}\]

\[0=\frac{1}{k}\]

Mi lehet ennek az egyenletnek a megoldása? Vajon mivel kell elosztani az egyet, hogy nullát (vagyis végtelenül kicsi számot) kapjunk? Ha egy végtelen nagy számmal osztjuk el a véges nagyságú 1‑et, akkor végtelenül kicsit (nullát) kapunk:

\[k=\infty \]

Mit jelent, hogy a $k$ képtávolság végtelen? Azt jelenti, hogy a lencsét elhagyó sugarak csak a lencstől végtelen távolban fognak találkozni, vagyis párhuzamosak. Emiatt most nem keletkezik kép, így nagyításról sem beszélhetünk.

c)  Egy $20\ \mathrm{cm}$ fókusztávolságú gyűjtőlencsétől $30\ \mathrm{cm}$ távolságban van a tárgy. Mekkora lesz a képtávolság? Valódi vagy virtuális kép keletkezik? Hányszorosan nagyított illetve kicsinyített kép keletkezik? Egyenes vagy fordított állású a keletkezett kép?

\(k=60\ \mathrm{cm}\)

\(\hookrightarrow \) valódi a kép (mert \(k>0\))

\(N=-2\)

\(\hookrightarrow\) 2-szeresen nagyított a kép (nagyított, mert \(\left|N\right|>1\))

\(\hookrightarrow\) fordított állású a kép (mert \(N<0\))

Írjuk fel a leképezési törvényt, továbbra is mindent $\mathrm{cm}$‑ben értve, így a mértékegységeket elhagyva:

\[\frac{1}{f}=\frac{1}{t}+\frac{1}{k}\]

A $f$ fókusztávolságunk továbbra is pozitív előjelű:

\[f=20\]

A $t$ tárgytávolság most:

\[t=30\]

Írjuk be ezeket a leképezési törvénybe:

\[\frac{1}{f}=\frac{1}{t}+\frac{1}{k}\]

\[\frac{1}{20}=\frac{1}{30}+\frac{1}{k}\]

\[\frac{1}{20}-\frac{1}{30}=\frac{1}{k}\]

\[\frac{3}{60}-\frac{2}{60}=\frac{1}{k}\]

\[\frac{1}{60}=\frac{1}{k}\]

\[k=60\ \mathrm{cm}\]

Mivel a képtávolság pozitív, ezért valódi a kép.

A nagyítás:

\[N=-\frac{k}{t}\]

\[N=-\frac{60}{30}\]

\[N=-2\]

Ebből kétféle következtetést vonhatunk le. Egyrész megnézzük az $N$ nagyítás abszolút értékét:

\[\left|N\right|=\left|-2\right|=2>1\]

vagyis a kép nagyított.

És megnézzük az $N$ nagyítás előjelét: a nagyítás értéke negatív, ami azt jelenti, hogy a kép fordított állású.

A keletkező valódi kép egy ernyőn, fehér falon, vetítővásznon megjeleníthető. Természetesen a valódi kép után a odáig összetartó sugarak széttartóak lesznek, így a képtávolságon túl elhelyezkedő szemmel mi virtuális képet fogunk átni.

d)  Egy $20\ \mathrm{cm}$ fókusztávolságú gyűjtőlencsétől $40\ \mathrm{cm}$ távolságban van a tárgy. Mekkora lesz a képtávolság? Valódi vagy virtuális kép keletkezik? Hányszorosan nagyított illetve kicsinyített kép keletkezik? Egyenes vagy fordított állású a keletkezett kép?

\(k=40\ \mathrm{cm}\)

\(\hookrightarrow \) valódi a kép (mert \(k>0\))

\(N=-1\)

\(\hookrightarrow\) a tárggyal azonos méretű a kép (mert \(\left|N\right|=1\))

\(\hookrightarrow\) fordított állású a kép (mert \(N<0\))

Írjuk fel a leképezési törvényt, továbbra is mindent $\mathrm{cm}$‑ben értve, így a mértékegységeket elhagyva:

\[\frac{1}{f}=\frac{1}{t}+\frac{1}{k}\]

A $f$ fókusztávolságunk továbbra is pozitív előjelű:

\[f=20\]

A $t$ tárgytávolság most:

\[t=40\]

Írjuk be ezeket a leképezési törvénybe:

\[\frac{1}{f}=\frac{1}{t}+\frac{1}{k}\]

\[\frac{1}{20}=\frac{1}{40}+\frac{1}{k}\]

\[\frac{1}{20}-\frac{1}{40}=\frac{1}{k}\]

\[\frac{2}{40}-\frac{1}{40}=\frac{1}{k}\]

\[\frac{1}{40}=\frac{1}{k}\]

\[k=40\ \mathrm{cm}\]

Mivel a képtávolság előjele pozitív, ezért valódi a kép.

A nagyítás:

\[N=-\frac{k}{t}\]

\[N=-\frac{40}{40}\]

\[N=-1\]

Ebből kétféle következtetést vonhatunk le. Egyrész megnézzük az $N$ nagyítás abszolút értékét:

\[\left|N\right|=\left|-1\right|=1\]

vagyis a kép sem nem nagyított, sem nem kicsinyített, hanem a tárggyal azonos méretű.

És megnézzük az $N$ nagyítás előjelét: a nagyítás értéke negatív, ami azt jelenti, hogy a kép fordított állású.

A keletkező valódi kép egy ernyőn, fehér falon, vetítővásznon megjeleníthető. Természetesen a valódi kép után a odáig összetartó sugarak széttartóak lesznek, így a képtávolságon túl elhelyezkedő szemmel mi virtuális képet fogunk átni.

e)  Egy $20\ \mathrm{cm}$ fókusztávolságú gyűjtőlencsétől $60\ \mathrm{cm}$ távolságban van a tárgy. Mekkora lesz a képtávolság? Valódi vagy virtuális kép keletkezik? Hányszorosan nagyított illetve kicsinyített kép keletkezik? Egyenes vagy fordított állású a keletkezett kép?

\(k=30\ \mathrm{cm}\)

\(\hookrightarrow \) valódi a kép (mert \(k>0\))

\(N=-0,5\)

\(\hookrightarrow\) 0,5‑szörösen "nagyított", més szóval 2‑szeresen kicsinyített a kép (kicsinyített, mert \(\left|N\right|<1\))

\(\hookrightarrow\) fordított állású a kép (mert \(N<0\))

Írjuk fel a leképezési törvényt, továbbra is mindent $\mathrm{cm}$‑ben értve, így a mértékegységeket elhagyva:

\[\frac{1}{f}=\frac{1}{t}+\frac{1}{k}\]

A $f$ fókusztávolságunk továbbra is pozitív előjelű:

\[f=20\]

A $t$ tárgytávolság most:

\[t=60\]

Írjuk be ezeket a leképezési törvénybe:

\[\frac{1}{f}=\frac{1}{t}+\frac{1}{k}\]

\[\frac{1}{20}=\frac{1}{60}+\frac{1}{k}\]

\[\frac{1}{20}-\frac{1}{60}=\frac{1}{k}\]

\[\frac{3}{60}-\frac{1}{60}=\frac{1}{k}\]

\[\frac{2}{60}=\frac{1}{k}\]

\[k=30\ \mathrm{cm}\]

Mivel a képtávolság pozitív, ezért valódi a kép.

A nagyítás:

\[N=-\frac{k}{t}\]

\[N=-\frac{30}{60}\]

\[N=-0,5\]

Ebből kétféle következtetést vonhatunk le. Egyrész megnézzük az $N$ nagyítás abszolút értékét:

\[\left|N\right|=\left|-0,5\right|=0,5<1\]

vagyis a kép kicsinyített.

És megnézzük az $N$ nagyítás előjelét: a nagyítás értéke negatív, ami azt jelenti, hogy a kép fordított állású.

A keletkező valódi kép egy ernyőn, fehér falon, vetítővásznon megjeleníthető. Természetesen a valódi kép után a odáig összetartó sugarak széttartóak lesznek, így a képtávolságon túl elhelyezkedő szemmel mi virtuális képet fogunk átni.

f)  Egy $20\ \mathrm{cm}$ fókusztávolságú gyűjtőlencsétől végtelen távol van a tárgy. Mi lesz a leképezés eredménye?

A gyűjtőlencse a rá érkező párhuzamos sugarakat egyetlen pontba gyűjti össze.

Írjuk fel a leképezési törvényt, továbbra is mindent $\mathrm{cm}$‑ben értve, így a mértékegységeket elhagyva:

\[\frac{1}{f}=\frac{1}{t}+\frac{1}{k}\]

A $f$ fókusztávolságunk továbbra is pozitív előjelű:

\[f=20\]

A $t$ tárgytávolság most végtelen:

\[t=\infty \]

Írjuk be ezeket a leképezési törvénybe:

\[\frac{1}{f}=\frac{1}{t}+\frac{1}{k}\]

\[\frac{1}{20}=\frac{1}{\infty }+\frac{1}{k}\]

Ha az 1‑et végtelen nagy számmal elosztjuk, akkor végtelenül kicsit, azaz nullát kapunk:

\[\frac{1}{\infty }=0\]

Ezt beírva:

\[\frac{1}{20}=\frac{1}{k}\]

\[k=20\ \mathrm{cm}\]

Mivel a képtávolság pozitív, ezért valódi a kép, tehát a domború lencse összegyűjtötte a sugarakat.

A nagyítás:

\[N=-\frac{20}{\infty }\]

Ha egy véges számot végtelen naggyal elosztunk, akkor végtelenül kicsit kapunk, vagyis nullát:

\[N=0\]

Nézzük az $N$ nagyítás abszolút értékét:

\[\left|N\right|=\left|0\right|=0<1\]

vagyis a kép kicsinyített, méghozzá "végtelenül". Gondoljunk bele, hogy ez mit is jelent. A tárgyból kiinduló fénysugarakat egyetlen pontba gyűjti össze. Ez történik, amikor egy nagyítólencsével (például egy plussz dioptriás szemüveglencsével) összegyűjtjük a Napból érkező (szinte párhuzamos) fénysugarakat egyetlen pontba. Miért párhuzmos sugarakból áll a napfény? Mert ugyan a Nap $1,4$ millió $\mathrm{km}$ átmérőjű, de $150$ millió $\mathrm{km}$ távolságban van. Végül ebből a hatalmas méretű tárgyból kiinduló fénysugarak egyetlen apró pontban találkoznak; ezért mondhatjuk, hogy végtelenül lekicsinyített kép keletkezett.