Newton 58 éves korában nem nyugdíjra ácsingózott, hanem még igencsak aktív tudós volt: 1701‑ben készített egy hőmérőt, melynek üvegcsövében a táguló‑összehúzódó folyadék nem higany vagy alkohol volt, ahogy manapság, hanem lenmagolaj (lásd a fenti képet). Kidolgozott egy hőmérsékleti skálát is, melyen a \(0\ \mathrm{{}^\circ N}\) hőmérséklet a víz fagyáspontja volt (tehát ebben a Celsius‑skálára hasonlított), de ezen túl Newton nemcsak egy további alappontot (referenciapontot) adott meg (ami már elegendő lett volna), hanem nagyon sokat, amik nagy része ráadásul meglehetősen homályos volt, például a \(6\ \mathrm{{}^\circ N}\) nem más, mint "július folyamán a déli hőfok". Szerencsére konkrétabb pontokat is megadott, ilyen volt a bizmut nevű fém olvadáspontja, ami \(271,4\ \mathrm{{}^\circ C}=81\ \mathrm{{}^\circ N}\).
a) Az egerszalóki fürdő 2‑es kútját 1987‑ben fúrták, és \(426\ \mathrm{m}\) mélységből \(68\ \mathrm{{}^\circ C}\) hőmérsékletű gyógyhatású termálkarsztvizet ad. De ez túl meleg ahhoz, hogy fürdésre alkalmas legyen, emiatt először egy ún. sódombon (ami valójában nem sóból, hanem mészköves ásványi kicsapódásból áll) folyatják a szabad levegőn, amitől némileg lehűl, így vezetik a fürdőmedencékbe, ahonnan legvégül a Laskó‑patakba ürítik. Hány \(\mathrm{{}^\circ N}\)‑t mutatna egy Newton‑skálás hőmérő a frissen feljövő melegvízben?
\(\approx 20,3\ \mathrm{{}^\circ N}\)
Tudunk mindkét skálán a víz fagyáspontját::
\[0\ \mathrm{{}^\circ C}=0\ \mathrm{{}^\circ N}\]
és a bizmut olvadáspontját:
\[271,4\ \mathrm{{}^\circ C}=81\ \mathrm{{}^\circ N}\]
Ábrázoljuk ezeket a hőmérsékleteket egy koordinátarendszerben, ahol az egyik tengely Newton-skálázású, a másik pedig Celsius-skálázású:
Ha a két ismert pontot összekötjük, akkor origón átmenő egyenest kapunk:
vagyis a Newton-skálán vett hőmérsékletérték és a Celsius-skálán vett egyenes arányosak. Ennek az az oka, hogy a két skála nullpontjai egybeesnek, ezért megy át az egyenes az origón. Ezért az átváltás közöttük nagyon egyszerű, ugyanis egyenes arányos mennyiségek hányadosa állandó, méghozzá konkrétan:
\[\frac{271,4\ \mathrm{{}^\circ C}}{81\ \mathrm{{}^\circ N}}\approx3,35\]
Vagyis a Celsius-skálán vett hőmérsékletérték mindig 3,35-szorosa a Newton-skálán vett hőmérsékletértéknek. Így az átváltás során mindössze ezzel kell szoroznunk vagy osztínunk, attól függően, hogy melyik skáláról melyikre térünk át.
Az egerszalókon feltörő termálvíz \(T=68\ \mathrm{{}^\circ C}\)-os hőmérsékletű. Mivel mindig a Celsius-skálás számérték a nagyobb, méghozzá 3,35-ször, ezért ezt el kell osztanunk 3,35-tel:
\[T=\frac{68}{3,35}\ \mathrm{{}^\circ N}\]
\[T=20,3\ \mathrm{{}^\circ N}\]
b) Hány \(\mathrm{{}^\circ C}\) volt Newton lakóhelyén a júliusi napokon délben?
\(\approx 20,1\ \mathrm{{}^\circ C}\)
Ábrázoljuk megint közös koordinátarendszerben a két hőmérsékleti-skálát:
Az origón átmenő egyenes miatt a két érték között egyenes arányosság áll fenn, a Celsius-skálán mindig 3,35-ször nagyobb a számérték, mint a Newton-skálán, ezért a \(T_{JD}\) júliusi déli hőmérsklet Newton-skálás értéket be kell szoroznunk ezzel a váltószámmal:
\[T_{JD}=6\cdot 3,35\ \mathrm{{}^\circ C}\]
\[T_{JD}=20,1\ \mathrm{{}^\circ C}\]
c) Newton hőmérsékleti skálájától inspirálódva Lloyd "Dumb" Christmas éles szemmel meglátja a kiváló lehetőséget a világhírre. A terve lényege, hogy kimazsolázza a jó dolgokat, azaz olyan hőmérsékleti skálát tervez, mely ötvözi az eddig használt skálák előnyös vonásait:
- a Kelvin-skálából megőrzi, hogy az elképzelhető (bár elérhetetlen) legalacsonyabb hőmérséklet (amikor is a részecskéknek egyáltalán nincsen hőmozgás miatti energiája), az logikusan nulla fok legyen
- a Celsius-skálából pedig átveszi, hogy az életünk alapját jelentő víznek a normál nyomású forráspontja (a gyermekkori cukros-citromos teák emlékére) egy szép kerek szám maradjon (a jól ismert 100)
Hány \(\mathrm{{}^\circ D}\) a Dumb-skálán a limuzinjában az optimális szervírozási hőfokra (azaz \(9\ \mathrm{{}^\circ C}\)-ra) behűtött pezsgő hőmérséklete?
\(75,61\ \mathrm{{}^\circ D}\)
Mivel a Kelvin- és a Dumb-skála nullpontja közös, ezért a két skálán vett értékek egyenes arányosak:
Jelöljük be ezen a grafikonon a pezsgő optimális szervírozási hőmérsékletét! Erről azt tudjuk, hogy \(9\ \mathrm{{}^\circ C}\), úgyhogy először át kell váltanunk a grafikonon szereplő kelvin egységbe. A Celsius-Kelvin átváltásnál csak el kell tolni az értéket 273,15-tel:
\[9\ \mathrm{{}^\circ C}=(9+273,15)\ \mathrm{K}=282,15\ \mathrm{K}\]
A grafikonon ezt bejelölve:
Az egyenes arányosság miatt aránypárt írhatunk fel:
\[100\ \mathrm{{}^\circ D}\ \to \ 373,15\ \mathrm{K}\]
\[\mathrm{X}\ \mathrm{{}^\circ D}\ \to \ 282,15\ \mathrm{K}\]
Ebből az ismeretlen \(\mathrm{X}\) megkapható:
\[\frac{\mathrm{X\ {}^\circ D}}{100\ \mathrm{{}^\circ D}}=\frac{282,15\ \mathrm{K}}{373,15\ \mathrm{K}}\]
A mértékegységekkel mindkét oldalon egyszerísíthetünk:
\[\frac{\mathrm{X}}{100}=\frac{282,15}{373,15}\]
\[\mathrm{X}=75,61\]
Figyelembe véve, hogy az aránypárban látható, hogy ennek az ismeretlennek mi is a mértékegysége:
\[\mathrm{X}=75,61\ \mathrm{{}^\circ D}\]
d) Dumb a saját skáláján mérve \(84\ \mathrm{{}^\circ D}\) hőmérsékletű vízben szeret fürdeni. Hány Celsius-nak felel meg ez?
\(\mathrm{40,3\ {}^\circ C}\)
Ábrázoljuk az ismert és ismeretlen adatainkat a grafikonon:
Erre az arányosság miatt felírhatunk egy aránypárt:
\[\mathrm{X\ K\ \to \ 84\ {}^\circ C}\]
\[\mathrm{373,15\ K\ \to \ 100\ {}^\circ C}\]
Ebből egy egyenletet felírva:
\[\mathrm{\frac{X\ K}{373,15\ K}=\frac{84\ {}^\circ C}{100\ {}^\circ C}}\]
A mértékegységekkel mindkét oldalon egyszerűsíthetünk:
\[\mathrm{\frac{X}{373,15}=\frac{84}{100}}\]
Ebből az ismeretlent kirendezve:
\[\mathrm{X=\frac{84\cdot373,15}{100}}\]
És figyelembe véve, hogy az ismeretlennek a mértékegysége \(\mathrm{K}\) volt:
\[\mathrm{X=313,45\ K}\]
Hogy értsük ezt a vízhőfokot, váltsuk át a hétköznapi Celsius-skálás egységbe egy 273,15-tel való eltolással:
\[\mathrm{X=40,3\ {}^\circ C}\]