a)  Egymáshoz képest milyen időpontokban érnek a pályáik végére?

A gödrön áthaladó ér a leggyorsabban oda, és a dombon áthaladó a legkésőbb:

A dombon áthaladó golyóra eleinte (felfelé menet) a lejtő olyan irányú (felületre merőleges) nyomóerőt fejt ki, ami egy \(K\) kényszererő, hiszen azt a geometriai jellegű feltételt teljesíti, hogy a golyó a domb/gödör felületén nem hatolhat át. Ennek a \(K\) kényszererőnek van vízszintes komponense (\(K_x\)), ami a golyó haladási irányával ellentétesen mutat, vagyis csökkenti a golyó vízszintes sebességét. Ennek eredményeként a golyó a domb tetejénn a kezdetinél kisebb vízszintes sebességgel halad át (ha egyáltalán feljut oda). Ezután a domb túloldalán lefelé haladva, a lejtő által a golyóra kifejtett kényszererő továbbra is a felületre merőleges. Most viszont ennek \(K_x\) vízszintes komponense a haladási iránnyal megegyező lesz, vagyis növelni fogja a golyó vízszintes sebességét. Visszaérve a kezdeti szintre (szimmetria okokból), a golyó sebessége a kezdeti \(v_0\) értékre áll vissza

Vagyis a dombon áthaladó golyónak a vízszintes sebességkomponense a dombon haladása során mindvégig kisebb, mint a végig sík pályán haladóé.  Ez alapján a "dombos" golyó \(v_x\) vízszintes sebességkomponensének átlagos értéke kisebb, mint a sík pályán haladóé. Viszont mindhárom golyónak ugyanakkora vízszintes elmozdulást kell tennie. Márpedig a kisebb átlagos vízszintes sebességű golyó ugyanakkora vízszintes elmozdulást hosszabb idő alatt tesz meg:

\[v_{\textit{átl}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\]

A gödrön áthaladó golyóra eleinte (lefelé menet) a lejtő olyan irányú (felületre merőleges) nyomóerőt, kényszererőt fejt ki, aminek vízszintes komponense a golyó haladási irányába mutat, vagyis növeli a golyó vízszintes sebességét. Ennek eredményeként a golyó a gödör alján a kezdetinél nagyobb vízszintes sebességgel halad. Ezután (a lejtőn felfelé haladva) a lejtő által golyóra kifejtett (merőleges) \(K\) kényszererő \(K_x\) vízszintes komponense a haladási iránnyal ellentétes lesz, vagyis csökkenti a golyó vízszintes sebességét (a golyó vízszintes mozgása lassul). Visszaérve a kezdeti szintre (az energiamegmaradás alapján) a sebessége a kezdeti \(v_0\) értékre áll vissza.

Vagyis a gödrön áthaladó golyó a gödörben haladása során mindvégig nagyobb vízszintes sebességgel halad, mint a végig sík pályán haladó.  Ez alapján a "gödrös" golyó \(v_x\) vízszintes sebességkomponensének átlagos értéke nagyobb, mint a sík pályán haladóé. Viszont mindhárom golyónak ugyanakkora vízszintes elmozdulást kell tennie. Márpedig a nagyobb átlagos vízszintes sebességű golyó ugyanakkora vízszintes elmozdulást rövidebb idő alatt tesz meg:

\[v_{\textit{átl}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\]