A fenti falfestmény több mint 5000 éves, a közép-egyiptomi Beni-Hassan falu melletti sírbarlangok egyikében található; labdákkal zsonglőrködő nőket ábrázol.
a) Egy zsonglőr pontosan fél másodpercenként dob fel egy labdát, és azonos nagyságú, közel függőleges kezdősebességet ad nekik. Mekkora legyen a kezdősebesség, ha 2 majd 3 illetve 4 labdával szeretné a mutatványt véghez vinni? (Az egyszerűség kedvéért azt az időt, amíg a zsonglőr a visszaérkező labdát a kezével elkapja, lelassítja majd felfelé irányban felgyorsítja, hanyagoljuk el! Tehát csak a labdák felfelé repülésével és lefelé zuhanásával számoljunk!)
| \(v_0\) | |
| 2 labdával | \(5\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\) |
| 3 labdával | \(7,5\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\) |
| 4 labdával | \(10\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\) |
Ha fél másodpercenként indít labdákat, és csak 2 labdája van, akkor:
- a \(t=0\ \mathrm{s}\) időpillanatban elindítja az 1-es labdát
- a \(t=0,5\ \mathrm{s}\) időpillanatban elindítja az 2-es labdát
- a \(t=1\ \mathrm{s}\) időpillanatban elindítja (megint) az 1-es labdát
Vagyis egy labda számára 1 másodperc áll rendelkezésre, hogy felmenjen és visszahulljon. Azaz fél másodperc a felfelé repülése és fél másodperc a visszazuhanása. Fél másodperc alatt mekkora sebességre tesz szert egy kezdősebesség nélkül elejtett test? A
\[g=10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
nehézségi gyorsuklás azt jelenti, hogy másodpercenként \(\displaystyle 10\ \mathrm{\frac{m}{s}}\)‑mal változik a sebesség, vagyis fél másodperc alatt \(\displaystyle 5\ \mathrm{\frac{m}{s}}\)‑mal. Tehát a labda \(\displaystyle 5\ \mathrm{\frac{m}{s}}\)‑mal fog visszaérkezni, így ugyanekkora sebességgel is kell elindulnia felfelé.
Ha 3 labdával zsonglőrködik, és mindig fél másodpercenként dob fel egy labdát, akkor 1,5 másodpercenként "kerül sorra" egy adott labda. Vagyis 0,75 másodperce lesz felfelé menni illetve lefelé zuhanni. Ennyi idő alatt \(\displaystyle 7,5\ \mathrm{\frac{m}{s}}\) sebességre gyorsul fel egy elejtett test, tehát ekkora sebességgel kell felfelé dobni a labdákat.
Ha 4 labdával zsonglőrködik, és mindig fél másodpercenként dob fel egy labdát, akkor 2 másodpercenként "kerül sorra" egy adott labda. Vagyis 1 másodperce lesz felfelé menni illetve lefelé zuhanni. Ennyi idő alatt \(\displaystyle 10\ \mathrm{\frac{m}{s}}\) sebességre gyorsul fel egy elejtett test, tehát ekkora sebességgel kell felfelé dobni a labdákat
b) Mekkora belmagasságú teremben csinálhatja meg a fenti 2 majd 3 illetve 4 labdás mutatványát, ha a keze a labdák eldobásakor a padlótól számítva 1 méter magasságban van?
| szükséges belmagasság | |
| 2 labdával | \(2,25\ \mathrm{m}\) |
| 3 labdával | \(3,8125\ \mathrm{m}\) |
| 4 labdával | \(6\ \mathrm{m}\) |
Először ki kell kiszámolnunk, hogy a labda milyen magasra megy felfelé menetben, majd ehhez még hozzá kell adnunk a kezdeti 1 méteres magasságát, hogy a teljes belmagasság "szükésgletet" megkapjuk.
A felfelé menetben megtett útja helyett számolhatunk a lefelé megtett úttal is, hiszen az ugyanakkora, csak az egyszerűbb mozgás, mert kezdősebesség nélküli egyenletesen változó (míg a felfelé menő az kezdősebességes egyeneletesen változó). Ennek úttörvénye:
\[s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot {\left(\Delta t\right)}^2\]
Két labdával a lefelé zuhanás 0,5 másodpercen űt tart:
\[\Delta t=0,5\ \mathrm{s}\]
a gyorsulásunk a nehézségi gyorsulás:
\[a=g=10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
Beírva az adatokat:
\[s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot {\left(\Delta t\right)}^2\]
\[s=\frac{1}{2}\cdot 10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\cdot {\left(0,5\ \mathrm{s}\right)}^2\]
\[s=1,25\ \mathrm{m}\]
De mivel 1 méterről indul a labda, ezért 2,25 méteres belmagasság szükséges.
Ha 3 labdával zsonglőrködünk, akkor
\[\Delta t=0,75\ \mathrm{s}\]
amit beírva az egyenletbe:
\[s=\frac{1}{2}\cdot 10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\cdot {\left(0,75\ \mathrm{s}\right)}^2\]
\[s=2,8125\ \mathrm{m}\]
ami a kezdeti 1 méteres magassággal együtt 3,8125 méteres belmagasságot igényel.
Ha 4 labdával zsonglőrködünk, akkor
\[\Delta t=1\ \mathrm{s}\]
amit beírva az egyenletbe:
\[s=\frac{1}{2}\cdot 10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\cdot {\left(1\ \mathrm{s}\right)}^2\]
\[s=5\ \mathrm{m}\]
ami a kezdeti 1 méteres magassággal együtt 6 méteres belmagasságot igényel.