Az ábra egy ideális gázzal végzett körfolyamatot ábrázol, mely két szakaszból áll (A és B). Tegyük fel, hogy az A szakasz kezdő- és végállapotában a hőmérséklet azonos!
1. Adjuk meg az energiatranszport-mennyiségek előjeleit!
| Az \(A\) szakaszon | A \(B\) szakaszon | |
| \(W^{gázon}\) | ||
| \(W^{gáz\ által}\) | ||
| \(\Delta U^{gáz}\) | ||
| \(\Delta U^{körny.}\) | ||
| \(Q^{gázzal}\) | ||
| \(Q^{gáz\ által}\) |
1. Adjuk meg az energiatranszport-mennyiségek előjeleit!
| Az \(A\) szakaszon | A \(B\) szakaszon | |
| \(W^{gázon}\) | \(-\) | \(+\) |
| \(W^{gáz\ által}\) | \(+\) | \(-\) |
| \(\Delta U^{gáz}\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\Delta U^{körny.}\) | \(0\) | \(0\) |
| \(Q^{gázzal}\) | \(+\) | \(-\) |
| \(Q^{gáz\ által}\) | \(-\) | \(+\) |
A \(W^{gázon}\) képlete:
\[W^{gázon}=-p\cdot \Delta V\]
Mivel az A szakaszban az ábra szerint a gáz térfogata növekszik, emiatt
\[\Delta V=V_2-V_1>0\]
A \(p\) nyomás értéke gázban csak pozitív lehet. Ezek alapján a gázon végzett munka előjele:
\[sgn\left(W^{gázon}\right)=sgn\left(-p\cdot \Delta V\right)\]
\[sgn\left(W^{gázon}\right)=\left(-1\right)\cdot \left(+1\right)\cdot \left(+1\right)=\left(-1\right)\]
A \(W^{gáz\ által}\) és a \(W^{gázon}\) mindig ellentétes előjelűek:
\[W^{gázon}=- W^{gáz\ által}\]
Emiatt
\[sgn\left(W^{gáz\ által}\right)=+1\]
A \(\Delta U^{gáz}\) előjelének eldöntéséhez idézzük fel, mi az ideális gáz \(U\) belső energiájának képlete:
\[U=\frac{f}{2}nRT\]
Az \(f\) szabadsági fokok száma feltehető, hogy nem változik a folymat során. Az \(n\) anyagmennyiség szintén állandónak vehető, ha bezárt gáz végzi a körfolyamatot. A feladat szerint az A szakasz kezdő- és végpontjában a \(T\) hőmérséklet azonos, így a belső energia képletében minden azonos az A szakasz elején és végén. Emiatt
\[\Delta U^{gáz}=0\]
Amennyit változik a rendszer belső energiája, mindig pont annyit változik a környezetének energiája (az energiamegmaradás miatt), ezért mindig fennáll:
\[\Delta U^{gáz}=-[\Delta U^{körny.}\]
Ezek alapján
\[\Delta U^{körny.}=0\]
A \(Q^{gázzal}\) gázzal közölt hő előjelét a gázra felírt I. főtétel segítségével számíthatjuk ki, ugyanis az ebben szereplő 3 tagból most már tudjuk kettő előjelét:
\[\Delta U=Q^{gázzal}+W^{gázon}\]
\[0=\left(?\right)+\left(-\right)\]
Ez alapján \(Q^{gázzal}\) előjele pozitív kell legyen, hogy az egyenlőség teljesüljön:
\[Q^{gázzal}>0\]
\(Q^{gáz\ által}\) és a \(Q^{gázzal}\) előjelei mindig ellentétesek, mert amennyit az egyik ad a másiknak, a másik pont annyit vesz fel, márpedig a felvétel "negatív hőleadást" jelent, ahogy a hőleadás mindig "negatív hőfelvételnek" számít:
\[Q^{gáz\ által}=-Q^{gázzal}\]
Emiatt
\[Q^{gáz\ által}<0\]
2. Adjuk meg a körfolyamatra (egy teljes ciklusra) vonatkozóan a belsőenergia-változás és az energiatranszport-folyamatok előjeleit:
| Egy ciklusban | |
| \(\sum W^{gáz\ által}\) | |
| \(\Delta U\) | |
| \(\sum Q^{gázzal}\) |
2. Adjuk meg a körfolyamatra (egy teljes ciklusra) vonatkozóan a belsőenergia-változás és az energiatranszport-folyamatok előjeleit:
| Egy ciklusban | |
| \(\sum W^{gáz\ által}\) | \(+\) |
| \(\Delta U\) | \(0\) |
| \(\sum Q^{gázzal}\) | \(+\) |
Az A szakaszban a gáz végez munkát (hiszen kitágul, ezáltal "összenyomja a körülötte lévő világot"), a B szakaszban viszont a környezet végez munkát a gázon (mivel a gáz összehúzódik, tehát a környezet nyomja össze a gázt). A kettő esetleg kioltja egymást? Nem, mert nem azonos a nagyságuk. Ugyanis egy folyamat során a munkavégzés mindig a p-V diagramon ábrázolt függvény görbe alatti területe, amit a vízszintes (térfogat) tengellyel körbezár:
Az A szakaszban a függvény görbéje "magasabban megy", mint a B szakaszban, emiatt az A szakaszban a munkavégzés nagyobb. Vagyis az A szakasz "előjele fog győzedelmeskedni", tehát összességében a gáz végez munkát:
\[\sum W^{gáz\ által}>0\]
Körfolyamatban az ideális gáz belső enerhiája nem változik, hiszen a körfolyamat végére a gáz visszatér a kiindulási állapotába, vagyis azonos lesz a kezdeti és a végső hőmérséklete, amitől az ideális gáz belső energiája függ. Emiatt:
\[\Delta U=0\]
Az A szakaszban is és a B szakaszban is igaz, hogy a hőközlés nagysága azonos a munkavégzésével, hiszen az I. főtétel csak így teljesülhet. Tehát Az A szakaszban, amikor a gáz hőt vesz fel (a gázzal közölt hő pozitív), akkor nagyobb a hőközlés, mint a B szakaszban, amikor is a gáz hőt ad le (a gáz által közölt hő pozitív). Emiatt összességében a gázzal közölt hő pozitív, vagyis a géz hőt vesz fel:
\[\sum Q^{gázzal}>0\]
Talán furcsa lehet, hogy mind a két eredő energiaranszport pozitív lett. Az első főtétel szokásos alakja az, hogy a rendszerrel közölt hő és a rendszeren végzett munka szerepel benne. Ha ezeket kérdezte volna a feladat, akkor a rendszeren végzett munka negatív lett volna. Amiatt kérdezte a feladat ezeket, mert a hőerőgépek lényege, hogy hőből munkát csinálnak, vagyis a rendszerrel közölt hő az egyik fontos lépés, valamint a rendszer által végzett munka a másik fontos.