a)  Mi történik a víz szintjével, miközben a jégkocka teljesen elolvad $0\ \mathrm{ºC}$‑os vízzé? (A víz párolgásától tekintsünk el!)

A vízszint nem változik.

Az egyszerű számok kedvéért képzeljük el, hogy a víz felszínén úszó jégtömb $5\ \mathrm{kg}$‑os. Erre a jégtömbre egyrészt

\[m\cdot g=5\ \mathrm{kg}\cdot 10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}=50\ \mathrm{N}\]

nagyságú nehézségi erő hat lefelé, másrészt a víz által kifejett hidrosztatikai felhajtóerő felfelé. Mivel a jégtömb nyugalomban van, a rá ható erők eredője nulla kell legyen, így a felhajtóerőnek is $50\ \mathrm{N}$ nagyságúnak kell lennie, hogy kioltsa, kiegyenlítse a nehézségi erőt.

A felhajtóerő a kiszorított víz súlyával egyezik meg, vagyis a jégkocka $50\ \mathrm{N}$ súlyú vizet szorít ki, ami $5\ \mathrm{kg}$ vizet jelent, ami $5\ \mathrm{liter}$ térfogatú. Ez azt jelenti, hogy a jégkockának a vízbe belemerülő része $5\ \mathrm{liter}$.

A jégkocka térfogata ennél több, hiszen a jég sűrűsége kisebb, mint a vízé (ami $1000\ \mathrm{\displaystyle \frac{kg}{m^3}}$).

\[\varrho_{j}=917\ \mathrm{\frac{kg}{m^3}}=0,917\ \mathrm{\frac{kg}{dm^3}}\]

emiatt a mi $5\ \mathrm{kg}$‑os jégkockánk térfogata:

\[V_j=\frac{m_j}{\varrho_j}\]

\[V_j=\frac{5\ \mathrm{kg}}{0,917\ \mathrm{\displaystyle \frac{kg}{dm^3}}}\]

\[V_j=5,45\ \mathrm{dm^3}\]

Vagyis a jégkocka $5,45\ \mathrm{literes}$ térfogatából $5\ \mathrm{liter}$ merül bele a vízbe (tehát egy $5\ \mathrm{litertes}$ "gödröt" nyom szét a vízben magának; $5\ \mathrm{liter}$ a kiszorított víz térfogata), és $0,45\ \mathrm{liternyi}$ része van a vízfelszín felett. Ha ez az $5\ \mathrm{kg}$ jég elolvad, akkor lesz belőle $5\ \mathrm{liter}$ víz, ami pont "betölti" az eddigi "kiszorított vizet". Emiatt a vízszint nem fog változni.

b)  Mi történik a víz szintjével, miközben a jégkocka teljesen elolvad $0\ \mathrm{ºC}$‑os vízzé, de a jégkockában kezdetben volt (belefagyva) egy kavics? (A víz párolgásától tekintsünk el!)

A vízszint lecsökken.

1. megoldás

A jégkocka legyen megint $5\ \mathrm{kg}$ tömegű, de ebből a kavics $1\ \mathrm{kg}$, és csak a maradék $4\ \mathrm{kg}$ a jég! Bármilyen $5\ \mathrm{kg}$‑os test úszik a víz felszínén, az $5\ \mathrm{liter}$ térfogatú vizet szorít ki (ha nem hat rá más erő, csak a nehézségi és a felhajtóerő). Vagyis a jég elolvadásával keletkezik:

• egy $5\ \mathrm{liter}$ térfogatú "gödör" a vízben (amit kezdetben a kavicsos jég kiszorított)
• $4\ \mathrm{liter}$ víz (a $4\ \mathrm{kg}$ jégből)

Az $5\ \mathrm{literes}$ gödörnek csak egy részét tölti meg a keletkező $4\ \mathrm{liternyi}$ víz, de ezen túlmenően "kliszabadult" a kavicsunk is, aminek szintén van térfogata. Vajon a kavics pont betölti ezt a "hiányzó" $1\ \mathrm{liternyi}$ helyet? Vagy pedig  kisebb térfogatú ennél, esetleg nagyobb?

A kavicsról tudjuk, hogy $1\ \mathrm{kg}$ tömegű. Az $1\ \mathrm{kg}$‑os test akkor pont $1\ \mathrm{liter}$ térfogatú, ha a sűrűsége \(\displaystyle 1\ \mathrm{\frac{kg}{liter}}\), ahogy a vízé. A kavics azonban nyilván nagyobb sűrűségű, mint a víz, hiszen lesüllyed a vízbe dobva. Ha nagyobb a sűrűsége a víznél, akkor viszont az $1\ \mathrm{kg}$‑os kavics kisebb térfogatú kell legyen, mint az $1\ \mathrm{kg}$‑nyi víz, hiszen a térfogat:

\[V=\frac{m}{\varrho}\]

azaz a kavics esetében ugyanazt az $1\ \mathrm{kg}$‑ot nagyobb sűrűséggel kell osztanunk, mint $1\ \mathrm{kg}$ víz esetében.

Emiatt kijelenthetjük, hogy a kavics nem fogja "kiadni" a hiányzó $1\ \mathrm{liter}$ térfogatot, így az olvadás után "marad még némi gödör", amibe a vízfelszín legfelső molekulái szépen "befolynak", így a vízszint le fog csökkenni.

2. megoldás

A pohár alján a nyomás (fenéknyomás) a felette lévő, ránehezedő  testek súlyától függ. Kezdetben ezek:

• a pohár kezdeti vize
• a Föld légköre
• $4\ \mathrm{kg}$ jég
• $1\ \mathrm{kg}$ kavics.

A végén pedig:

• a pohár kezdeti vize
• a Föld légköre
• $4\ \mathrm{kg}$ friss víz (a jégből)

Tehát "kevesebben nehezednek rá", vagyis a fenéknyomás le kellett, hogy csökkenjen. Ez a fenéknyomás képletével csak úgy lehetséges, ha a

\[p=p_0+\varrho\cdot g\cdot h\]

kifejezésben a \(h\) magasság (a vízoszlop magassága) csökken le, hiszen a többi mind állandó.

De hová tűnt a kavics "ránehezedése"? Ő a végén már nem nehezedik rá a fenékre? De, igen. Csakhogy az edény alján a kavicsot nem a hidrosztatikai felhajtóerő egyedül tartja meg (a nehézségi erő lehúzásávalé szembeszállva), hanem besegít neki az edény alja is (egy nyomóerőnek vagy tartóerőnek nevezett erővel). Tehát az is igaz, hogy az edény aljának összesen ugyanannyi erőt kell kifejtenie a végén is, mint kezdetben. A különbség annyi, hogy kezdetben az edény alja csak a vizet nyomja, tartja, méghozzá

\[F_1=p_1\cdot A\]

nagyságú erővel, míg a végén a \(p_2\) víznyomás kisebb, így a vízre kifejtett

\[F_2=p_2\cdot A\]

erő kisebb a kezdetinél, de az edény alja pluszban kifejt még egy \(F_K\) erőt a kavicsra is, és ezek együtt kiadják a kezdeti teljes erőt:

\[F_1=F_2+F_K\]

c)  Mi történik a víz szintjével, miközben a jégkocka teljesen elolvad $0\ \mathrm{ºC}$‑os vízzé, de eredetileg a jégkocka belsejében volt (belefagyva) egy nagyobb méretű légbuborék? (A légbuborékban lévő levegő tömegét hanyagoljuk el, és  víz párolgásától tekintsünk el!)

Nem fog változni a vízszint.

Az egyszerű számok kedvéért legyen megint $5\ \mathrm{kg}$‑os a jégkocka! Természetesen a jégkockánk térfogata most nagyobb, mint az előbb volt, hiszen a bezárt levegő növeli a térfogatát az előzőhöz képest.

Egy $5\ \mathrm{kg}$‑os, úszó test $5\ \mathrm{liter}$ vizet szorít ki (ha más erők nem hatnak, mint például fentről egy kötél húzza, vagy alulról az edény nyomja). Az is fennáll most is, hogy $5\ \mathrm{kg}$ jégből, amikor elolvad, $5\ \mathrm{liter}$ térfogatú víz lesz. Márpedig $5\ \mathrm{liternyi}$ "helyet" az olvadáskor keletkező $5\ \mathrm{liternyi}$ víz pont kitölt. Tehát a légbuborék nem változtat a helyzeten.

Ha furcsáljuk a dolgot, képzeljük el, hogy kezdetben egy tömör jégkocka úszim a víz felszínén, amiben nincs légbuborrék. A teteje természetesen kilóg a vízből. Faragjunk le a víz felett kilógó jégből kis jégkockákat! Ettől természetesen nem változik semmit a vízszint, hiszen pont ugyanannyi tömegű a jég, ami úszik a víz felszínén. Ezután a jégkockákat rakosgassuk egymásra úgy, hogy alkossanak egy "kis épületet", aminek falai jégből vannak, de belül van egy levegővel töltött "szoba". Ettől sem változik semmit a vízszint, viszont lényegében kialakítottuk a légbuborékot a jégben.

d)  Mi történik a vízszinttel, ha a jégkockában kezdetben egy olyan tömör műanyag tömb van belefagyva, aminek a sűrűsége pont annyi mint a vízé, és a jég teljesen elolvad?

A vízszint nem változik.

Legyen megint kezdetben $5\ \mathrm{kg}$‑os a jégkockánk, amiből $4\ \mathrm{kg}$ a jég és $1\ \mathrm{kg}$ a műanyag. Az $5\ \mathrm{kg}$‑os jégkocka $5\ \mathrm{liter}$ vizet szorít ki. A jég elolvadásával egy "$5\ \mathrm{literes}$ gödör" keletkezik. A $4\ \mathrm{kg}$ jég elolvadása termel $4\ \mathrm{liter}$ vizet. Emellett "kiszabadul" az $1\ \mathrm{kg}$‑os műanyagunk is. Vajon ez mekkora térfogatú? Tudjuk, hogy $1\ \mathrm{kg}$ tömegű, és a vízével azonos sűrűségű, emiatt (az $1\ \mathrm{kg}$‑nyi vízhez hasonlóan) $1\ \mathrm{liter}$ lesz a térfogata. Vagyis az olvadástól keletkező $5\ \mathrm{literes}$ gödröt a termelődő víz és a tömör műanyag tömb pontosan kitölti. Így a vízszint nem változik.

e)  Mi történik a vízszinttel, ha a jégkockában kezdetben bele van fagyasztva egy olyan tömör műanyag tömb, aminek sűrűsége kisebb, mint a vízé?

A vízszint változatlan marad.

1. megoldás

Legyen megint $5\ \mathrm{kg}$‑os a kezdeti jégkockánk, amiből $4\ \mathrm{kg}$ a jég, és $1\ \mathrm{kg}$ a műanyag. Az $5\ \mathrm{kg}$‑os test $5\ \mathrm{liter}$ vizet szorít ki, vagyis az olvadás után most is keletkezik $5\ \mathrm{liter}$ térfogatú "gödör". A $4\ \mathrm{kg}$ jég megint termel $4\ \mathrm{liter}$ vizet. De mi lesz a műanyaggal? Mivel ő kisebb sűrűségű, mint a víz, ezért úgy fog úszni a víz felszínén, hogy csak részben fog belemerülni a vízbe. Konkrétan mennyi is lesz a belemerülő térfogat? Annyi, hogy a kiszorított víz súlya (a felhajtóerő) megegyezzen a műanyagra ható nehézségi erővel. Mivel a műanyag $1\ \mathrm{kg}$‑os, ezért $10\ \mathrm{N}$ a rá ható nehézségi erő:

\[m\cdot g=1\ \mathrm{kg}\cdot 10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]

Vagyis $10\ \mathrm{N}$ felhajtóerőnek kell keletkeznie, és $10\ \mathrm{N}$ súlya $1\ \mathrm{kg}$ víznek van. Vagyis $1\ \mathrm{kg}$ lesz a kiszorított víz, ami $1\ \mathrm{liternyi}$, tehát a műanyag úgy fog úszni a víz felszínén, hogy $1\ \mathrm{liternyi}$ része fog belemerülni a vízbe.

Azt kaptuk hát, hogy az olvadáskor létrejövő $5\ \mathrm{liternyi}$ "gödör" pont be lesz töltve: $4\ \mathrm{litert}$ a termelődő víz fog betömni, a maradék $1\ \mathrm{litert}$ pedig az úszó műanyag.

Így a vízszint nem fog változni.
 

2. megoldás

Képzeljük el, hogy a műanyag a jégkocka legtetején van, teljes egészében a víz felett. Ez esetben a műanyagot levéve a jégkockáról, és a víz felszínén a jégkocka mellé téve, ha nem változik a vízszint, akkor a jégkocka elolvadásától már nem fog, így a végére ugyanannyi lesz, mint kezdetben. De vajon attól, mert a jég tetejéről átrakjuk a műanyag darabot a vízfelszín másik részére, ettől a vízszint nem fog megváltozni? (Ez lényegében ugyanaz az eset, mint amikor a csónakból kiteszünk egy fatönköt a vízre.)

Képzeljük úgy, hogy az edény alján a nyomás a felette lévő, ránehezedő dolgok súlya miatt lesz annyi, amennyi. Amikor a jégkocka tetejéről oldalirányban arrébb rakjuk a műanyag tömböt, akkor a pohárban lévő dolgok, amik ránehezednek, semmit nem változnak. Ezért a víz alján a nyomás az átrakástól nem változik. Ez pedig úgy lehetséges, ha a vízszint sem változik, ugyanis a fenéknyomsá

\[p=p_0+\varrho \cdot g\cdot h\]

amiben minden változatlan, így a \(h\) vízoszlop magasságnak is változatlannak kell lennie.