a)  Kijöhet-e a teljes útra \(\displaystyle 50\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑s átlagot, ha Székesfehérvár után már nincs torlódás, de betartjuk a \(\displaystyle 130\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑s sebességhatárt?

Nem.

Mennyi időbe telt megtenni az első szakaszt, azaz eljutni Székesfehérvárig?

\[\Delta t_1=\frac{s_1}{v_1}\]

\[\Delta t_1=\frac{66\ \mathrm{km}}{15\ \mathrm{\displaystyle \frac{km}{h}}}\]

\[\Delta t_1=4,4\ \mathrm{h}\]

Mennyi időt venne igénybe a második szakasz, ha a lehető legnagyobb, \(\displaystyle 130\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑s sebességgel haladunk rajta?

\[\Delta t_2=\frac{s_2}{v_2}\]

\[\Delta t_2=\frac{40\ \mathrm{km}}{130\ \mathrm{\displaystyle \frac{km}{h}}}\]

\[\Delta t_2=0,308\ \mathrm{h}\]

Mekkora átlagsebességet érünk így el?

\[v_{\textit{átl}}=\frac{s_{\textit{össz}}}{\Delta t_{\textit{össz}}}\]

\[v_{\textit{átl}}=\frac{106\ \mathrm{km}}{\Delta t_1+\Delta t_2}\]

\[v_{\textit{átl}}=\frac{106\ \mathrm{km}}{4,4\ \mathrm{h}+0,308\ \mathrm{h}}\]

\[v_{\textit{átl}}=\frac{106\ \mathrm{km}}{4,708\ \mathrm{h}}\]

\[v_{\textit{átl}}=22,5\ \mathrm{\frac{km}{h}}\]

Tehát hiába döngetünk Fehérvártól már végig a megengedett maximális sebességgel, még mindig nagyon messze leszünk a remélt \(\displaystyle 50\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑s átlagtól.

b)  Mennyivel kell haladnunk (egyenletesen) Fehérvártól, ha nem vagyunk ennyire nagyravágyóak, és az első szakasz \(\displaystyle 15\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑járól csupán \(\displaystyle 20\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑ra akarjuk feljavítani a teljes útra vett átlagsebességünket?

\(v_2=44,4\ \mathrm{\displaystyle \frac{km}{h}}\)

Írjuk fel a teljes útra a kívánt átlagsebességet:

\[v_{\mathrm{átl}}=\frac{s_\mathrm{össz}}{\Delta t_\mathrm{össz}}\]

\[20\ \mathrm{\frac{km}{h}}=\frac{106\ \mathrm{km}}{\Delta t_\mathrm{össz}}\]

Ebből a teljes eltelt idő:

\[\Delta t_\mathrm{össz}=5,3\ \mathrm{h}\]

Ebből az első szakaszon már elhasználtunk \(4,4\ \mathrm{h}\)‑t, így a második szakaszra

\[\Delta t_2=\Delta t_\mathrm{össz}-\Delta t_1\]

\[\Delta t_2=5,3\ \mathrm{h}-4,4\ \mathrm{h}\]

\[\Delta t_2=0,9\ \mathrm{h}\]

jut. Mekkora sebességgel lehet megtenni a hátralévő

\[s_2=106\ \mathrm{km}-66\ \mathrm{km}=40\ \mathrm{km}\]

távot?

\[v_2=\frac{s_2}{\Delta t_2}\]

\[v_2=\frac{40\ \mathrm{km}}{0,9\ \mathrm{h}}\]

\[v_2=44,4\ \mathrm{\frac{km}{h}}\]

c)  Mennyivel kellene Székesfehérvártól Siófokig haladni, hogy a teljes Budapest‑Siófok utazásra kijöjjön az \(\displaystyle 50\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)‑s átlag?

Ez lehetetlen.

Ha \(\displaystyle 50\ \mathrm{\frac{km}{h}}\) átlaggal tennénk meg a teljes \(106\ \mathrm{km}\)‑es távot, akkor az összes eltelt idő

\[\Delta t_{\textit{össz}}=\frac{s_{\textit{össz}}}{v_{\textit{á}tl}}\]

\[\Delta t_{\textit{össz}}=\frac{106\ \mathrm{km}}{50\ \mathrm{\displaystyle \frac{km}{h}}}\]

\[\Delta t_{\textit{össz}}=2,12\ \mathrm{h}\]

lenne. Csakhogy mi már az első szakaszban (Fehérvárig) elhasználtunk \(4,4\ \mathrm{h}\)-t. Így teljesen lehetetlen, hogy \(2,12\ \mathrm{h}\) alatt megtegyük a teljes távot.

d)  Mennyire javíthatjuk fel az átlagunkat, ha Fehérváron átülünk egy "hiperűrsebességgel" (a fénysebességnek mindjárt a 10‑szeresével) haladó űrhajóba a Siófokig tartó szakaszra?

\(v_{\textit{átl}}=24,09\ \mathrm{\displaystyle \frac{km}{h}}\)

Mivel a fénysebesség másodpercenként \(300\ 000\ \mathrm{km}\) megtételét jelenti, ezért a második szakasz \(40\ \mathrm{km}\)‑es távja, már fénysebessséggel számolva is csak a másodperc pici töredékéig tartana. Míg az első szakaszban \(4,4\ \mathrm{h}\) az eltelt idő. Ehhez képest a második szakasz időtartama elhanyagolhatóan kicsi, vagyis

\[\Delta t_2\approx 0\ \mathrm{h}\]

Számítsuk ki ezzel az átlagsebességet:

\[v_{\textit{átl}}=\frac{s_{\textit{össz}}}{\Delta t_{\textit{össz}}}\]

\[v_{\textit{átl}}=\frac{106\ \mathrm{km}}{\Delta t_1+\Delta t_2}\]

\[v_{\textit{átl}}=\frac{106\ \mathrm{km}}{4,4\ \mathrm{h}+0\ \mathrm{h}}\]

\[v_{\textit{átl}}=\frac{106\ \mathrm{km}}{4,4\ \mathrm{h}}\]

\[v_{\textit{átl}}=24,09\ \mathrm{\frac{km}{h}}\]

Tehát ennél semmiképp sem tudunk nagyobb átlagra kijönni. Egyszerűen túl sok időt használtunk el az első szakaszra, hogy ennél jobb átlag adódjon ki a teljes útra.