a)  Kezdetben a levegőben tartjuk a vödröt a fülénél fogva, aztán pedig teljesen vízbe merülve (a vödörnek épphogy csak füle van kint a vízből, és a vödör sehol nem ér hozzá a víztartályhoz). Nagyobb vagy kisebb erővel tudjuk a vízben megtartani, mint a levegőben?

A vízben tartva kisebb erőt kell kifejtenünk, mint a levegőben tartva.

Mind a levegőben tartott vödörre, mind a vízben tartottra hat felhajtóerő, de a vízben tartottra nagyobb. Ugyanis a felhajtóerő nagysága a kiszorított folyadék vagy gáz súlyával egyezik meg:

$$F_{\mathrm{felh}}=m_{\mathrm{kisz}}\cdot g$$

$$F_{\mathrm{felh}}=\varrho_{\mathrm{kisz}}\cdot V_{\mathrm{kisz}}\cdot g$$

Mindkét esetben a vödör vékony lemezének össztérfogata a $V_{\mathrm{kisz}}$ kiszorított térfogat, de a víz sűrűsége kb. 800-szor nagyobb a levegő sűrűségénél.

b)  Hány newtonnal illetve hány %‑kal változik a vödör nyugalomban tartásához szükséges erő?

$\Delta F=1,114\ \mathrm{N}$

ami 14%-os csökkenés

Számítsuk ki mindkét esetben a vödör nyugalomban tartásához szükséges erőt! mindkét esetben a vödörre három erő hat:

• az $mg$ nehézségi erő (lefelé)
• a vödör fémlemeze által kiszorított levegő illetve víz miatti $F_{\mathrm{felh}}$ felhajtóerő (felfelé)
• a kezünk által kifejtett $F$ erő (felfelé)

A dinamikai alapegyenletet felírva az $y$ függőleges irányra:

$$\Sigma F_{\mathrm{y}}=m\cdot a_{\mathrm{y}}$$

Válasszuk felfelé a pozitív irányt!

$$F+F_{\mathrm{felh}}-mg=0$$

A vödörre ható nehézségi erőhöz váltsuk át a vödör tömegét SI-egységbe:

$m=870\ \mathrm{g}=0,87\ \mathrm{kg}$

$$mg=0,87\cdot 10$$

$$mg=8,7\ \mathrm{N}$$

A felhajtóerő a kiszorított fluidum (folyadék vagy gáz) súlyával egyezik meg:

$$F_{\mathrm{felh}}=m_{\mathrm{kisz}}\cdot g$$

A kiszorított tömeget a sűrűség

$$\varrho=\frac{m}{V}$$

alapján

$$m=\varrho \cdot V$$

Ezzel a felhajtóerő:

$$F_{\mathrm{felh}}=\varrho_{\mathrm{{fluid}}}\cdot V_{\mathrm{kisz}}\cdot g$$

Ezeket SI-egyégben, mértékegység nélkül beírva a dinamikai alapegyenletbe:

$$F+F_{\mathrm{felh}}-mg=0$$

$$F+\varrho_{\mathrm{fluid}}\cdot V_{\mathrm{kisz}}\cdot g-8=0$$

$$F=8-\varrho_{\mathrm{fluid}}\cdot V_{\mathrm{kisz}}\cdot g$$

Látható, hogy nagyobb fluidum sűrűség esetén az $F$ erő kisebb lesz.

Számítsuk ki a kszorított térfogatot! Tudjuk, hogy a vödör tömege $m=0,87\ \mathrm{kg}$ és a lemez anyagát adó vas sűrűsége

$$\varrho_{\mathrm{vas}}=7800\ \mathrm{\frac{kg}{m^3}}$$

A sűrűség fenti definíciója alapján a vödör vaslemezének teljes térfogata:

$$V_{\mathrm{vas}}=\frac{m_{\mathrm{vas}}}{\varrho_{\mathrm{vas}}}$$

Az adatokat SI-egységben beírva:

$$V_{\mathrm{vas}}=\frac{0,87}{7800}$$

$$V_{\mathrm{vas}}=1,116\cdot 10^{-4}\ \mathrm{m^3}$$

Ezt, és a $g$ nehézségi gyorsulást is beírva, SI-egységben, a mértékegység elhagyásával:

$$F=8-\varrho_{\mathrm{fluid}}\cdot 1,116\cdot 10^{-4}\cdot 10$$

$$F=8-\varrho_{\mathrm{fluid}}\cdot 1,116\cdot 10^{-3}$$

Számoljuk ki a tartóerőt levegőben, aminek sűrűsége:

$$\varrho_{\mathrm{lev}}=1,29\ \mathrm{\frac{kg}{m^3}}$$

$$F_1=8-1,29\cdot 1,116\cdot 10^{-3}$$

$$F_1=7,9986\ \mathrm{N}$$

Számoljuk ki a tartóerőt víz esetében, melynek sűrűsége

$$\varrho_{\mathrm{víz}}=1000\ \mathrm{\frac{kg}{m^3}}$$

$$F_2=8-1000\cdot 1,116\cdot 10^{-3}$$

$$F_2=6,885\ \mathrm{N}$$

Vagyis a különbség mindössze

$$\Delta F=F_2-F_1$$

$$\Delta F=6,885\ \mathrm{N}-7,9986\ \mathrm{N}$$

$$\Delta F=1,114\ \mathrm{N}$$

ami az üres vödör levegőbeli $8,7\ \mathrm{N}$-os súlyának csupán kb. nyolcadrésze. A %-os változáshoz:

$$\frac{6,885}{7,9986}=0,86=86\%$$

vagyis 14%-os csökkenést következik be a vízbe merítéstől.