A hagyományos, higannyal töltött lázmérőkben kb. $0,4\ \mathrm{gramm}$ higany van. A skálájuk $35$ vagy $36\ \mathrm{{}^\circ C}$‑tól indul és $42\ \mathrm{{}^\circ C}$‑ig tart. Kb. $1\ \mathrm{cm}$‑rel megy arrébb a higanyszál vége $1\ \mathrm{{}^\circ C}$ hőmérséklet‑változás hatására. A higanyos lázmérők pontossága $0,1\ \mathrm{{}^\circ C}$.
a) Hány milliliter higany van a lázmérő végén/elején található higanytartályban? A higany sűrűsége \(\varrho_{\mathrm{Hg}}=13,6\ \mathrm{\displaystyle \frac{g}{\ cm^3}}\).
\(V=0,0294\ \mathrm{ml}\)
Tudjuk a higany tömegét és sűrűségét, és keressük a térfogatát. Ezek között a sűrűség definíciója teremt kapcsolatot:
\[\varrho=\frac{m}{V}\]
\[13,6\ \mathrm{\frac{g}{\ cm^3}}=\frac{0,4\ \mathrm{g}}{V}\]
\[V=\frac{0,4}{13,6}\ \mathrm{cm^3}\]
\[V=0,0294\ \mathrm{cm^3}=0,0294\ \mathrm{ml}\]
b) Mekkora belső keresztmetszetű legyen a skálánál az üvegcső? A higany térfogati hőtágulási együtthatója: \(\beta_{\mathrm{Hg}}=0,181\cdot 10^{-3}\ \displaystyle \frac{1}{\mathrm{{}^\circ C}\ \ }\). (Az üveg hőtágulását - az egyszerűség kedvéért, meg mert jóval kisebb, mint a higanyé - hanyagoljuk el!)
\(A=5,32\cdot 10^{-6}\ \mathrm{cm^2}\)
Jelöljük az üvegcső belső keresztmetszetét \(A\)‑val! Vizsgáljunk meg egy $1\ \mathrm{{}^\circ C}$‑os hőmérsékletnövekedést!
Ettől a higanyszál vége $1\ \mathrm{cm}$‑rel lesz kijjebb, vagyis a higany tárfogatnövekedése eközben:
\[\Delta V=A\cdot 1\ \mathrm{cm}\]
A hőtágulási törvény szerint egy folyadék térfogatváltozása:
\[\Delta V=V_0\cdot \beta\cdot \Delta T\]
Ezzel ki tudjuk számítani a térfogatváltozást, hiszen minden benne szereplő tagot ismerünk (a higany kezdeti térfogatát, a hőmérséklet‑változást és a higany hőtágulási együtthatóját).
\[V_0=0,0294\ \mathrm{cm^3}\]
\[\Delta T=1\ \mathrm{{}^\circ C}\]
\[\beta_{\mathrm{Hg}}=0,181\cdot 10^{-3}\ \frac{1}{\mathrm{{}^\circ C}\ \ }\]
Számítsuk ki a $0,4\ \mathrm{gramm}$ higany térfogatváltozását $1\ \mathrm{{}^\circ C}$‑os hőmérsékletnövekedés hatására:
\[\Delta V=V_0\cdot \beta\cdot \Delta T\]
\[\Delta V=0,0294\ \mathrm{cm^3}\cdot 0,181\cdot 10^{-3}\ \frac{1}{\mathrm{{}^\circ C}\ \ }\cdot 1\ \mathrm{{}^\circ C}\]
\[\Delta V=5,32\cdot 10^{-6}\ \mathrm{cm^3}\]
Írjuk ezt be az első egyenletünkbe:
\[\Delta V=A\cdot 1\ \mathrm{cm}\]
\[5,32\cdot 10^{-6}\ \mathrm{cm^3}=A\cdot 1\ \mathrm{cm}\]
\[A=5,32\cdot 10^{-6}\ \mathrm{cm^2}\]
c) A lázmérőben a higanycsőkeresztmetszete nem kör, hanem "lapos", emiatt van, hogy csak bizonyos szögből látjuk a szürke higanyszálat, de akkor viszont jó szélesnek:
Hányszor kisebb ez a higanykeresztmetszet az átlagos emberi hajszálnál, ha az 50 mikrométer ármérőjű körnek számít?
kb. 3,68‑szor
Számítsuk ki az emberi hajszál \(A_{\mathrm{H}}\) keresztmeteszetét! Ezt a kör területével tudjuk megtenni:
\[A_{\mathrm{H}}=\pi\cdot {r_{\mathrm{H}}}^2\]
Az átlagos hajszál sugara az átmérőjének a fele:
\[r_{\mathrm{H}}=\frac{d_{\mathrm{H}}}{2}\]
\[r_{\mathrm{H}}=\frac{50\ \mu \mathrm{m}}{2}\]
\[r_{\mathrm{H}}=25\ \mu \mathrm{m}=2,5\cdot 10^{-5}\ \mathrm{m}\]
Ezzel a hajszál keresztmetszete:
\[A_{\mathrm{H}}=\pi\cdot {r_{\mathrm{H}}}^2\]
\[A_{\mathrm{H}}=\pi\cdot {\left(2,5\cdot 10^{-5}\ \mathrm{m}\right)}^2\]
\[A_{\mathrm{H}}=1,96\cdot 10^{-9}\ \mathrm{m^2}\]
Az üvegcső belső keresztmetszete volt:
\[A=5,32\cdot 10^{-6}\ \mathrm{cm^2}=5,32\cdot 10^{-10}\ \mathrm{m^2}\]
Hányszor nagyobb a hajszál keresztmetszete, mint az üvegcsőé?
\[\frac{A_{\mathrm{H}}}{A}=\frac{1,96\cdot 10^{-9}\ \mathrm{m^2}}{5,32\cdot 10^{-10}\ \mathrm{m^2}}=3,68\]
Tehát még az átlagos hajszálnál is 3‑4‑szer kisebb keresztmetszetű a lázmérő tágulási üvegcsöve. Emiatt hívjuk az ilyen vékony csöveket kapillárisnak (capillus = haj latinul).