A játékvasút régebben sok gyerek nagy álma volt, melyet a karácsonyfa alatt remélt megtalálni. Manapság, amikor a gyerekek leginkább egy új mobilt/tabletet szeretnének karácsonyra, (egyes, múltba révedésre hajlamos emberek szerint) még mindig "az igazi, régi, jó gyerekjáték" szimbóluma. Próbáljunk keresni valami pozitívumot, és reménykedjünk kicsit, hogy legalább a bolygónk jól jár így: egy telefon sokkal kisebb tömegű, mint egy játékvasút készlet, így talán kisebb környeztterhelést jelent a mai ajándékok legyártása és kidobása, mint a régieké.
A játékvasút mozdonyának sebességét a tápegység feszültségével szabályozhatjuk. A játékvasút íves sínszakaszaiból egy $1,6$ méter átmérőjű körpályát építünk, melyen álló helyzetből indul a vonat. Úgy csavarjuk egyre feljebb a tápfeszültséget, hogy a vonat szöggyorsulása állandóan \(\displaystyle \beta=0,5\ \mathrm{\frac{1}{s^2}}\) lesz (persze csak néhány másodpercig tarthat ez az egyenletesen gyorsuló folyamat).
a) Mekkora lesz a mozdony szögsebessége 3 másodperccel az indulás után?
\(\omega_1=1,5\ \mathrm{\displaystyle \frac{1}{s}}\)
Az \(\omega\) szögsebesség egyenletesen változik,és az időegységre jutó változása a \(\beta\) szöggyorsulás, melynek definíciója:
\[\beta=\frac{\Delta \omega}{\Delta t}\]
A szöggyorsulást és az eltelt időt ismerjük:
\[\beta=0,5\ \mathrm{\frac{1}{s^2}}\]
\[\Delta t=3\ \mathrm{s}\]
Ezeket beírva:
\[\beta=\frac{\Delta \omega}{\Delta t}\]
\[0,5\ \mathrm{\frac{1}{s^2}}=\frac{\Delta \omega}{3\ \mathrm{s}}\]
\[\Delta \omega=1,5\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]
De ez még csak a szögsebesség megváltozása. Nekünk viszont a 3 másodperces gyorsításos szakasz végén érvényes szögsebesség a kérdés. A változás mindig a végső értékből kivont kezdeti érték:
\[\Delta \omega=\omega_1-\omega_0\]
Azt is tudjuk, hogy álló helyzetből indult a vonat, így az \(\omega_0\) kezdeti szögsebesség nulla:
\[\omega_0=0\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]
Beírva az adatokat:
\[\Delta \omega=\omega_1-\omega_0\]
\[1,5\ \mathrm{\frac{1}{s}}=\omega_1-0\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]
\[\omega_1=1,5\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]
b) Mekkora lesz a mozdony ("kerületi") sebessége $3$ másodperccel az indulás után?
\(v_1=1,2\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\)
A ("kerületi") sebesség és a szögsebesség egyenesen arányosak:
\[v=r\cdot \omega\]
Ez a gyorsítási szakasz végén, ha annak pillanatát $1$‑es indexszel jelöljük:
\[v_1=r\cdot \omega_1\]
Az aktuális szögsebességet az előző kérdésben már kiszámoltuk:
\[\omega_1=1,5\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]
A sugarat ki kell számolnunk, de nem nehéz, hiszen az ármérőt ismerjük:
\[d=1,6\ \mathrm{m}\]
Ennek az \(r\) sugár a fele:
\[r=0,8\ \mathrm{m}\]
Beírva az adatainkat:
\[v_1=r\cdot \omega_1\]
\[v_1=0,8\ \mathrm{m}\cdot 1,5\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]
\[v_1=1,2\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
c) Mit mondhatunk a mozdony kerületi (érintő irányú, tangenciális) gyorsulásáról?
\(a_k=0,4\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s^2}}\)
Az \(a_k\) kerületi gyorsulás egyenesen arányos a \(\beta\) szöggyorsulással:
\[a_k=r\cdot \beta\]
A jobb oldali tényezőket ismerjük:
\[r=0,8\ \mathrm{m}\]
\[\beta=0,5\ \mathrm{\frac{1}{s^2}}\]
Beírva őket:
\[a_k=r\cdot \beta\]
\[a_k=0,8\ \mathrm{m\cdot 0,5\ \frac{1}{s^2}}\]
\[a_k=0,4\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
d) Mekkora a mozdony centripetális gyorsulása $3$ másodperccel az indulás után?
\(a_{cp}=1,8\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s^2}}\)
Az \(a_{cp}\) centripetális gyorsulás nagysága:
\[a_{cp}=\frac{v^2}{r}=r\cdot {\omega}^2\]
Mindegy melyikkel számolunk, csak arra ügyeljünk, hogy a $3$ másodperces gyorsítási szakasz végén kérdezték, vagyis az $1$‑es pillanatban:
\[a_{cp}=\frac{{v_1}^2}{r}=r\cdot {\omega_1}^2\]
Nézzük mondjuk a ("kerületi") sebességes változatot! A 2. kérdésben kiszámoltuk, hogy:
\[v_1=1,2\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
Az \(r\) sugarat is már kiszámoltuk:
\[r=0,8\ \mathrm{m}\]
Ezeket beírva:
\[a_{cp}=\frac{{v_1}^2}{r}\]
\[a_{cp}=\frac{{1,2\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}^2}}{0,8\ \mathrm{m}}\]
\[a_{cp}=1,8\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
e) Mekkora a mozdony (teljes) gyorsulása $3$ másodperccel az indulás után?
\(a=1,844\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s^2}}\)
Körmozgás (illetve bármilyen görbevonalú mozgás) esetén a test gyorsulása az \(a_{cp}\) centripetális gyorsulásvektornak és az \(a_k\) kerületi gyorsulásvektoroknak a vektori összege:
Mivel az \(a_{cp}\) centripetális gyorsulás mindig sugárirányú (azaz az érintőre merőleges), az \(a_k\) kerületi gyorsulás pedig mindig érintő irányú, ezért ezen két gyorsuláskomponens mindig merőleges egymásra. Így a vektori összegzésük során a "paralelogramma‑módszer" speciálisan egy téglalapot eredményez. Ennek átlója egy derékszögű háromszög átfogója, amit Pitahgorasz-tétellel számíthatunk:
\[a^2={a_k}^2+{a_{cp}}^2\]
A gyorsuláskomponenseket már kiszámoltuk:
\[a_k=0,4\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
\[a_{cp}=1,8\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
Beírva:
\[a^2={a_k}^2+{a_{cp}}^2\]
\[a^2={\left(0,4\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\right)}^2+{\left(1,8\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\right)}^2\]
\[a^2=3,4\ \mathrm{\frac{m^2}{s^4}}\]
\[a=\sqrt{3,4}\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
\[a=1,844\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
f) Mekkora szögelfordulása volt a mozdonynak az első $3$ másodperc során?
\(\Delta \varphi=2,25\)
Ezt a kérdést kétféleképpen is megválaszolhatjuk.
1. megoldás
Mivel a szögsebesség az időben egyenletesen növekszik, ezért az átlagos szögsebesség (ami egy olyan szögsebesség, ami a változó szögsebsség \(\Delta t\) időtartama alatt ugyanannyi szögelfordulással jár, mint a változó) a kezdeti és a végső szögsebességnek az átlaga lesz. Tehát a szögelfordulást úgy számíthatjuk, mintha a mozdonyka az átlagos szögsebességével végezte volna a körmozgást $3$ másodpercen keresztül. Az átlagos szögsebessége:
\[\omega_{\textit{átl}}=\frac{\omega_0+\omega_1}{2}\]
Az \(\omega_0\) kezdeti szögsebesség nulla, mivel álló helyzetből indult a vonat. A $3$ másodperces gyorsulásos szakasz végére kialakuló \(\omega_1\) szögsebességet már kiszámoltuk az 1. kérdésben:
\[\omega_1=1,5\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]
Ezek alapján az átlagos szögsebesség:
\[\omega_{\textit{átl}}=\frac{\omega_1}{2}\]
\[\omega_{\textit{átl}}=\frac{1,5\ \mathrm{\displaystyle \frac{1}{s}}}{2}\]
\[\omega_{\textit{átl}}=0,75\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]
Ha egyenletes szögsebességgel végzi a körmozgást egy test, akkor a szögelfordulását a szögsebesség definíciójából számíthatjuk:
\[\omega=\frac{\Delta \varphi}{\Delta t}\]
\[\Delta \varphi=\omega\cdot \Delta t\]
Beírva az átlagos szögsebességet:
\[\Delta \varphi=0,75\ \mathrm{\frac{1}{s}}\cdot 3\ \mathrm{s}\]
\[\Delta \varphi=2,25\]
ami szögelfordulás radiánban értendő.
2. megoldás
A szögsebesség egyenletesen nő, ezért alkalmazhatjuk erre a szögelfordulás összefüggését. A haladó mozgásnál megszokott
\[s=v_0\cdot \Delta t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot {\left(\Delta t\right)}^2\]
mintájára körmozgásnál a szögelfordulsá összefüggése:
\[\Delta \varphi=\omega_0\cdot \Delta t+\frac{1}{2}\cdot \beta\cdot {\left(\Delta t\right)}^2\]
Mivel a vonatunk álló helyzetből indul, ezért az \(\omega_0\) kezdeti szögsebesség nulla, így az egyenlet egyszerűbb:
\[\Delta \varphi=\frac{1}{2}\cdot \beta\cdot {\left(\Delta t\right)}^2\]
Csak be kell írnunk a \(\beta\) szöggyorsulást:
\[\beta=0,5\ \mathrm{\frac{1}{s^2}}\]
és a \(\Delta t\) eltelt időt:
\[\Delta t=3\ \mathrm{s}\]
Beírva:
\[\Delta \varphi=\frac{1}{2}\cdot \beta\cdot {\left(\Delta t\right)}^2\]
\[\Delta \varphi=\frac{1}{2}\cdot 0,5\ \mathrm{\frac{1}{s^2}}\cdot {\left(3\ \mathrm{s}\right)}^2\]
\[\Delta \varphi=2,25\]
g) Mekkora utat tett meg a mozdony az első $3$ másodperc alatt?
\(s=1,8\ \mathrm{m}\)
Nagyon hasonlóan járhatunk el, mint a szögelfordulásnál. Egyrészt kiszámíthatjuk az átlagos ("kerületi") sebességet, és úgy számolunk, mintha végig azzal mozgott volna. Másrészt számolhatunk egyenletesen gyorsukó mozgásként is.
1. megoldás
Az átlagos sebesség egyeneletesen gyorsuló mozgásnál a kezdeti és a végső érték átlaga:
\[v_{\textit{átl}}=\frac{v_0+v_1}{2}\]
A \(v_0\) kezdeti sebesség nulla, mivel álló helyzetből indul a vasúti kocsi. A gyorsulási szakasz végére elért sebességet pedig már a 2. kérdésben kiszámoltuk:
\[v_1=1,2\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
Ezek alapján az átlagos ("kerületi") sebesség:
\[v_{\textit{átl}}=\frac{v_0+v_1}{2}\]
\[v_{\textit{átl}}=\frac{1,2\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}}{2}\]
\[v_{\textit{átl}}=0,6\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
Ezzel az átlagos sebességgel $3$ másodperc alatt a megtett út:
\[s=v\cdot \Delta t\]
\[s=0,6\ \mathrm{\frac{m}{s}}\cdot 3\ \mathrm{s}\]
\[s=1,8\ \mathrm{m}\]
2. megoldás
Az egyeneletesen változó mozgás megtett útjának összefüggése:
\[s=v_0\cdot \Delta t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot {\left(\Delta t\right)}^2\]
A \(v_0\) kezdősebesség most nulla, így az egyenlet egyszerűbb:
\[s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot {\left(\Delta t\right)}^2\]
Milyen \(a\) gyorsulás szerepel itt? A centripetális nemlehet, mert az a sebeségre merőleges. Viszont az \(a_k\) kerületi (érintő) gyorsulás az teljesen sebesség irányú, így az a jó ide. Azt már kiszámoltuk a 3. kérdésben:
\[a_k=0,4\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
Az eltelt időnk pedig $3$ másodperc:
\[\Delta t=3\ \mathrm{s}\]
Ezeket beírva:
\[s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot {\left(\Delta t\right)}^2\]
\[s=\frac{1}{2}\cdot 0,4\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\cdot {\left(3\ \mathrm{s}\right)}^2\]
\[s=1,8\ \mathrm{m}\]
h) Hány teljes kört tett meg a mozdony az első $3$ másodperc során?
$0,358$
Tudjuk, hogy az indulástól számított \(\Delta t=3\ \mathrm{s}\) során \(s=1,8\ \mathrm{m}\) utat tett meg a mozdony. Meg kell néznünk, hogy hányszorosa ez egy teljes körnek, vagyis a körpálya kerületének. Ehhez számítsuk ki a kör kerületét:
\[k=2\pi\cdot r\]
\[k=2\pi\cdot 0,8\ \mathrm{m}\]
\[k=5,03\ \mathrm{m}\]
Hányszor van meg az első $3$ másodperc során megtett $1,8$ méterben ez a kerület?
\[\frac{1,8\ \mathrm{m}}{5,03\ \mathrm{m}}=0,358\]
Tehát 0,358 kört tett meg csupán.
i) Ha $3$ másodpercnél abbahagyjuk a gyorsítást, és innentől már egyenletesen megy tovább a mozdony, akkor mekkora lesz a mozdony körmozgásának periódusideje?
\(T=4,189\ \mathrm{s}\)
A gyorsítási szakasz végén az \(\omega\) szögsebesség állandósul, méghozzá az 1. kérdésben kiszámolt \(\omega_1=1,5\ \mathrm{\displaystyle \frac{1}{s}}\) értékkel.
A szögsebesség fordítottan arányos a \(T\) periódusidővel:
\[\omega=\frac{2\pi}{T}\]
Beírva a szögsebesség adatot:
\[\omega=\frac{2\pi}{T}\]
\[\displaystyle 1,5\ \mathrm{\displaystyle \frac{1}{s}}=\frac{2\pi}{T}\]
\[T=\frac{2\pi}{1,5\ \mathrm{\displaystyle \frac{1}{s}}}\]
\[T=4,189\ \mathrm{s}\]
j) Ha $3$ másodpercnél abbahagyjuk a gyorsítást, és innentől már egyenletesen megy tovább a mozdony, akkor mekkora lesz a mozdony körmozgásának fordulatszáma?
\(n=0,239\ \mathrm{\displaystyle \frac{1}{s}}\)
Az \(n\) frdulatszám a \(T\) periódusidő reciproka:
\[n=\frac{1}{T}\]
A 9. kérdésben kiszámoltuk a \(T\) periódusidőt:
\[T=4,189\ \mathrm{s}\]
ez alapján:
\[n=\frac{1}{T}\]
\[n=\frac{1}{4,189\ \mathrm{s}}\]
\[n=0,239\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]
k) A sebesség állandósulása után mennyi idő alatt fog ugyanannyi utat megtenni a mozdony, mint amennyit az első $3$ másodperc során megtett?
\(\Delta t_2=1,5\ \mathrm{s}\)
Kétféleképpen is megoldhatjuk.
1. megoldás
Tudjuk, hogy a felgyorsuló szakaszban \(s=1,8\ \mathrm{m}\) utat tett meg, vagyis ugyanennyit kellene az állandósult sebességgel is, amit a 2. kérdésben már kiszámoltunk:
\[v_1=1,2\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
A sebesség, a megtett út és az eltelt idő közötti összefüggés:
\[v=\frac{\mathrm{s}}{\Delta t}\]
Ebből az eltelt időt kifejezve:
\[\Delta t=\frac{\mathrm{s}}{v}\]
\[\Delta t_2=\frac{1,8\ \mathrm{m}}{1,2\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}}\]
\[\Delta t_2=1,5\ \mathrm{s}\]
2. megoldás
Ábrázoljuk a vonat mozgását \(v\thinspace \unicode{x2013}\thinspace t\) sebesség‑idő diagramon, hiszen ezen a függvény "görbéje" alatti terület megmutatja a megtett utat (előjelesen nézve az elmozdulást).
Tehát olyan "széles" sárga téglalapot kellene találnunk, aminek a területe azonos a gyorsuló szakaszt jelképező kék háromszög területével. Vegyük észre, hogy a kék háromszüög és a sárga téglalap azonos magasságúak! Valamint hogy a kék háromszög területe pont a fele a \(3\ \mathrm{s}\) széles és \(1,2\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\) magas téglalapnak. Ezek alapján a sárga téglalapnak fele olyan szélesnek kell lennie, mint a kék háromszögnek, vagyis
\[\frac{3}{2}=1,5\]
szélességűnek. Tehát \(\Delta t=1,5\ \mathrm{s}\) alatt fog ugyanannyit megtenni egyenletesen, mint az elején, a felgyorsuló szakaszban tett meg.