A fogászati turbinák (fogorvosi "fúrók") legnagyobb fordulatszáma tipikusan \(400\ 000\ \mathrm{RPM}\) (revolutions per minute; percenkénti fordulatszám; bár léteznek \(800\ 000\ \mathrm{RPM}\)-es gépek is). A turbinák a maximális fordulatszámukat álló helyzetből $1,6$ másodperc alatt szokták elérni. Egy tipikus "fej" (fúrószár) $2\ \mathrm{mm}$ átmérőjű, bár igen sokféle alakú, méretű, felszíni kialakítású és anyagú létezik, például aszerint, hogy a fogzománcot vagy a dentint kell-e megmunkálni.
a) Mekkora egy tipikus turbina szögsebessége a maximális fordulatszámon?
\(\omega=41\ 833\ \mathrm{\displaystyle \frac{1}{s}}\)
Az \(n\) fordulatszám és az \(\omega\) szögsebesség átlátható módon függenek össze. Ugyanis az \(n\) fordulatszám azt mutatja meg, hogy másodpercenként hány teljes fordulat zajlik, az \(\omega\) szögsebesség pedig hogy másodpercenként hány radián szögelfordulás történik. Márpedig 1 teljes fordulat mindig \(2\pi\) szögelfordulást jelent, így az \(\omega\) szögsebesség mindig \(2\pi\)‑szer nagyobb, mint az \(n\) fordulatszám:
\[\omega=2\pi\cdot n\]
Most már csak a mértékegységekre kell ügyenünk, hogy mindkettő ugyanabban a mértékegységrendszerben legyen, például (az egyszerűség kedvéért) mindkettő SI egységben. Az idő SI egysége a másodperv, így a
\[n=400\ 000\ \frac{1}{\mathrm{min}}\]
nem SI-ben van. Emiatt átváltjuk olyanra, hogy az SI időegységét (a másodpercet) tartalmazza. Mivel a másodperc 60‑szor rövidebb, mint a perc, ezért $1$ másodperc alatt 60‑szor kevesebbet forog a fúró, mint percenként:
\[n=400\ 000\ \mathrm{\frac{1}{min}}\]
\[n=400\ 000\ \frac{1}{60\ \mathrm{s}}\]
\[n=\frac{400\ 000}{60}\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]
\[n=6666\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]
Ezt már beírhatjuk az összefüggésbe:
\[\omega=2\pi\cdot n\]
\[\omega=2\pi\cdot 6666\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]
\[\omega=41\ 833\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]
b) Mekkora a periódusidő a maximális fordulatszámon?
\(T=0,00015\ \mathrm{s}=0,15\ \mathrm{ms}\)
A \(T\) periódusidő és az \(n\) fordulatszám egymás reciprokai. Ezért
\[T=\frac{1}{n}\]
Beírva az imént SI‑be átváltott \(n\) fordulatszám adatot:
\[T=\frac{1}{6666\ \mathrm{\displaystyle \frac{1}{s}}}\]
\[T=0,00015\ \mathrm{s}=0,15\ \mathrm{ms}\]
c) Mekkora egy tipikus (fúró)fej szélső pontjának ("kerületi") sebessége a maximális fordulatszámon?
\(v_k=41,8\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\)
A \(v_k\) ("kerületi") sebesség az \(\omega\) szögsebességgel egyenesen arányos, és az arányossági tényező az \(r\) sugár:
\[v_k=r\cdot \omega\]
A sugár a megadottt átmérőnek a fele:
\[r=\frac{d}{2}\]
\[r=\frac{2\ \mathrm{mm}}{2}\]
\[r=1\ \mathrm{mm}\]
Átváltjuk SI egységbe:
\[r=10^{-3}\ \mathrm{m}\]
Most már beírhatjuk az adatainkat az összefüggésbe:
\[v_k=r\cdot \omega\]
\[v_k=10^{-3}\ \mathrm{m}\cdot 41.833\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]
\[v_k=41,8\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
d) Mekkora egy tipikus (fúró)fej szélső pontjának kerületi (érintő, tangenciális) gyorsulása, amikor a fej már egy ideje elérte a maximális fordulatszámot?
Nulla
Az \(a_k\) kerületi gyorsulás a sebességvektor nagyságának változáésát (növekedését) mutatja. Ha a sebesség már állandósult, akkor a sebesség nagysága nem változik, úgyhogy a kerületi gyorsulás nulla.
e) Mekkora egy tipikus (fúró)fej szélső pontjának centripetális gyorsulása a maximális fordulatszámon?
\(a_{cp}=1\ 750\ 000\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s^2}}\)
Az \(a_{cp}\) centripetális gyorsulást az alábbi összefüggésekkel számíthatjuk ki:
\[a_{cp}=r\cdot {\omega}^2=\frac{v^2}{r}\]
Mivel az \(r\), a \(v\) és az \(\omega\) közül már mindent kiszámoltunk:
\[r=0,001\ \mathrm{m}\]
\[v=41,8\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
\[\omega=41.833\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]
ezért mindegy, melyik változattal állunk neki.
\[a_{cp}=r\cdot {\omega}^2\]
\[a_{cp}=0,001\cdot {41\ 833}^2\]
\[a_{cp}=1\ 750\ 000\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
Illetve
\[a_{cp}=\frac{v^2}{r}\]
\[a_{cp}=\frac{{41,8}^2}{0,001}\]
\[a_{cp}=1.747.240\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
Az eltérés abból adódik, hogy eltérő tizedesjegyig kerekítettük az egyes adatokat.
f) Mekkora a tipikus (fúró)fej szélső pontjának teljes gyorsulás a felpörgési szakasznak az indításhoz közeli negyedénél?
g) Mit mondhatunk a fej szöggyorsulásáról a felpörgés időtartama alatt, ha a turbina egyenletesen pörög fel a maximális fordulatszámára?
h) Mennyi szögelfordulással jár (radián mértékegységben), míg a turbina álló helyzetből teljesen felpörög?