Egy Földről induló rakéta a hajtóműveit úgy működteti, hogy állandó \(\displaystyle 150\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{s}}\) sebességgel távolodik kiindulási helyétől. Elvileg eljuthat-e így a rakéta a szomszéd galaxisig?
A) Nem, ha nem éri el a szökési sebességet $\displaystyle \left(11,2\ \mathrm{\frac{km}{s}}\right)$, előbb-utóbb vissza fog zuhanni a Földre.
B) Igen, ha elegendő ideig működik a hajtómű, eljuthat.
C) Nem dönthető el, a rakéta tömegétől is függ, hogy elegendő-e ekkora sebesség.
A) Nem, ha nem éri el a szökési sebességet $\left(\displaystyle 11,2\ \mathrm{\frac{km}{s}}\right)$, előbb-utóbb vissza fog zuhanni a Földre.
B) Igen, ha elegendő ideig működik a hajtómű, eljuthat.
C) Nem dönthető el, a rakéta tömegétől is függ, hogy elegendő-e ekkora sebesség.
A feladat igazából azt feszegeti, hogy valaki érti-e, mi az a szökési sebesség (második kozmikus sebesség). Ez ugyanis arról szól, hogy legalább mekkora kezdősebességet adjunk egy testnek egy gravitációs vonzócentrum közelében (a Föld felszíne közelében), hogy ezután hajtómű nélkül (tehetetlenül sodródva) is a végtelenségig eltávolodjon ettől a vonzócentrumtól, mely mostanáig őt gravitációs "börtönben" tartotta. Tehát a szökési sebesség egy olyan esetet ír le, amikor a kezdősebesség megszerzése után egyáltalán nincs tolóerő. Ezért egy olyan esetben (amit a feladat ír), amikor folyamatosan rendelkezésünkre áll a tolóerő, nem szükséges a szökési sebességet elérnünk, enélkül is "kiszökhetünk" a gravitácós kötöttség állapotából, aminek a lényege, hogy a mozgási energiánk kisebb nagyságú, mint a (negatív előjelű) gravitációs potenciális energiánk nagysága, így az összes mechanikai energiánk negatív értékű. Amúgy a példában szereplő kicsi, de állandó sebességgel történő eltávolodás a Földtől, messze álla az űrtechnikai gyakorlattól, de ettől még alkalmas annak tesztelésére, hogy valaki érti-e a szökési sebesség fogalmát.
Részletesebben:
Ha egy rakéta hajtóművét működtetik, akkor $F$ tolóerő hat a rakétára (a kifúvási iránnyal ellenkező irányba). Ha a rakéta eközben jelentős erősségű gravitációs mezőben van (amit az ottani $g$ gravitációs gyorsulással jellemezhetünk), akkor a gravitációs mező is kifejt a rakétára egy $mg$ erőt. A két erő $F_{\mathrm{e}}$ eredéje
\[F_{\mathrm{e}}=m\cdot a\]
alapján
\[a=\frac{F_{\mathrm{e}}}{m}\]
gyorsulást eredményez. Mivel a rakéták hajtőművei véges üzemanyagtartállyal rendelkeznek (egy rakétafokozat csupán néhány percig tud működni, aztán az üzemanyaga kifogy), ezért a gyakorlatban néhány, rövid (pár perces) időszak alatt a rakétát hatalmas sebeségre gyorsítják, hogy ettől meglegyen az a sebessége, ami a Föld körül keringési pályára állításhoz szükséges (ez az első kozmikus sebesség, más néven körsebesség, ami kb. 30.000 km/h). Tehát a feladat esete, miszerint egy állandó, kis (150 m/s-os, azaz 540 km/h-s) sebességgel halad a rakéta, távol áll az alkalmazásoktól.
A valóságban az induló rakéta tömegének nagy része az üzemanyag. Ha a rakéta használja a hajtóművét, akkor az üzemanyag gyors ütemben fogy, így a rakéta \(m\) tömege folyamatosan (és jelentős mértékben) csökken. Emiatt ha állandó teljesítményen üzemeltetik a hajtóművet, akkor a rakéta gyorsulása időben egyre nagyobb lesz (ami aztán hamarosan olyan mértékűre növekedne, ami az űrhajósoknak is és magának a szerkezetnek is túl nagy terheléseket jelentene). Ezért a rakéták hajtóművének teljesítményét folyamatosan szabályozzák, a mozgása bonyolult, például az Apollo-11 kilövésekor az \(a\thinspace \unicode{x2013}\thinspace t\) gyorsulás-idő grafikonja így nézett ki:
A példában szereplő állandó sebességgel zajló mozgáshoz mindvégig nulla gyorsulás tartozna, ami azt jelenti, hogy a Földtől távolodó rakétára ható erők eredője nulla. Mivel az üzemanyag pár perc alatt kifogy, és eilyen rövid idő alatt a rakéta nem tud jelenős mértékben távolodni a Földtől (ezért a rá ható gravitáció alig változik), így állandó sebességhez folyamatosan csökkentenie kellene a tolóerőt,. Ugyanis a csökkenő tömegre egyre kisebb gravitációs erő hat, és a tolóerő ezzel azonos nagyságú kell legyen, hogy az eredő erő nulla maradhasson.
Aztán a Naprendszert elhagyva a Nap gravitációs vonzása elenyészővé válik, és mivel légellenállás sincsen, ezért nincs is miért működtetni a hajtóműveket, ha álllandó sebességgel akarjuk, hogy haladjon a rakéta. A két galaxis közötti szakaszon ugyanez a helyzet; hajtóművet működtetve folyamatosan gyorsulna, míg a feladat szerint állandó sebességgel szeretnénk menni.
Egyébként pedig Einstein útmutatását követve mindenképp fontos, hogy elképzeljük, végig gondoljunk egy furcsa, a realitásoktól távol eső esetet is, például ezt.