Egy nulla kezdősebességű ${}^{35}_{17}{{\mathrm{Cl}}^-}$, illetve ${}^{37}_{17}{{\mathrm{Cl}}^-}$ ion homogén elektromos térben azonos úton felgyorsul. Melyiküknek lesz nagyobb az út végén a mozgási energiája?
(Az ionokra ható gravitációs erő elhanyagolható!)
A) A ${}^{35}_{17}{{\mathrm{Cl}}^-}$ ion mozgási energiája lesz nagyobb.
B) A ${}^{37}_{17}{{\mathrm{Cl}}^-}$ ion mozgási energiája lesz nagyobb.
C) Egyenlő lesz a mozgási energiájuk.
A) A ${}^{35}_{17}{{\mathrm{Cl}}^-}$ ion mozgási energiája lesz nagyobb.
B) A ${}^{37}_{17}{{\mathrm{Cl}}^-}$ ion mozgási energiája lesz nagyobb.
C) Egyenlő lesz a mozgási energiájuk.
Általában az energetikai meggondolás egyszerűbb, gyorsabb, mint az erőkön, gyorsuláson, sebességen, úton keresztül vezető dinamikai. Most sinxcs ez másképp, ezért kezdjük az egydzerűbb, energetikai megoldással:
1. megoldás (energetikai)
A munkatétel szerint egy testre ható erő munkája megváltoztatja a test mozgási energiáját:
\[W=\mathit{\Delta} E_{\mathrm{mozg}}\]
Az elektromos mező által az ionokra kifejtett elektromos erő munkája fogja megváltoztatni az ionok mozgási energiáját. Mi mindentől függ az elektromos erő munkája?
\[W_E=F_E\cdot s_{\parallel}\]
Az erő pedig az ion \(Q\) töltésétől és az elektromos mező \(E\) térerősségétől függ:
\[F_E=E\cdot Q\]
amiből
\[W_E=E\cdot Q\cdot s_{\parallel}\]
A két ion esetében ez az egyenlet teljesen azonos, hiszen a homogén mező térerőssége azonos, az ionok ugyanúgy egyszeres negatív töltésűek, és az elmozdulásuk is azonos, ezért azonos mozgési energiára tesznek szert.
2. megoldás (dinamikai)
Az azonos erő a nehezebb (37-es tömegszámú) iont kisebb gyorsulásra kényszeríti, ezért azonos úton kisebb sebességre tesz szert. Általánosan levezetve, ha a nagyobb tömegű ion \(k\)-szor nagyobb tömegű, mint a kisebbik, akkor az ő gyorsulása azonos erő hatására
\[F=m\cdot a\]
alapján \(k\)-szor kisebb kell legyen, mert csak így jön ki a \(k\)-szor nagyobb tömeggel azonos \(F\) erő:
\[F=k\cdot m\cdot \frac{a}{k}\]
.Az eredményül kapott \(k\)-szor kisebb gyorsulás ugyanazon az \(s\) úton milyen időtartamot fog jelenteni a másikhoz képest? Nézzük az idevágó négyzetes úttörvényt:
\[s=\frac{a}{2}\cdot t^2\]
Hogy most (a \(k\)-szor kisebb gyorsulással) is ugyanazt az \(s\) utat kapjuk meg, az eltelt időnek \(qsqrt{k}\)-szor nagyobbnak kell lennie:
\[s=\frac{a}{2k}\cdot (\sqrt{k}\cdot t)^2\]
mert így ejtik ki egymást a \(k\)-t tartalmazó szorzótényezők.
Ha a nagyobb tömegű ion \(\sqrt{k}\)-szor nagyobb \(t\) ideig fog gyorsulni, akkor a végsebessége a kezdősebesség nélküli egyenletesen gyorsuló mozgás
\[v=a\cdot t\]
sebességfüggése alapján, beírva, hogy a gyorsulása \(k\)-szor kisebb, az időtartama pedig \(\sqrt{k}\)-szor nagyobb:
\[v'=\frac{a}{k}\cdot \sqrt{k}\cdot t\]
\[v'=\frac{a\cdot t}{\sqrt{k}}\]
vagyis a \(k\)-szor nehezebb ion \(\sqrt{k}\)-szor kisebb sebességre fog felgyorsulni. Mit eredményez ez a végső mozgási energiájában?
\[E_{\mathrm{mozg}}=\frac{1}{2}mv^2\]
Beírva azt, hogy az ő tömege \(k\)-szor nagyobb, a végsebessége pedig \(\sqrt{k}\)-szor kisebb, mint a másiké:
\[E'_{\mathrm{mozg}}=\frac{1}{2}k\cdot m\cdot \left(\frac{v}{\sqrt{k}}\right)^{\! 2}\]
\[E'_{\mathrm{mozg}}=\frac{1}{2}k\cdot m\cdot \frac{v^2}{k}\]
\[E'_{\mathrm{mozg}}=\frac{1}{2}mv^2\]
Vagyis a nagyobb tömeg miatti \(\sqrt{k}\)-szor kisebb sebességet a mozgási energiában pont kompenzálja a \(k\)-szor nagyobb tömeg.