Egy részecskegyorsítóban \(10^6\ \mathrm{V}\) gyorsítófeszültséggel \(\lambda_{\mathrm{dB}}=1,66\cdot 10^{-14}\ \mathrm{m}\) hullámhosszúságú részecskenyalábot állítanak elő valamely hidrogénizotóp‑ionokból.
(\(h=6,63\cdot 10^{-35}\ \mathrm{J\cdot s}\), az elemi töltés \(e=1,6\cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}\), az atomi tömegegység \(u=1,66\cdot 10^{-27}\ \mathrm{kg}\))
A hidrogén melyik izotópjáról van szó?
Trícium.
A \(\lambda_{\mathrm{dB}}\) alsó indexében szereplő "dB" arra utal, hogy a felgyorsított részecskék de Broglie-féle hullámhosszáról van szó.
Adatok:
\(U=10^6\ \mathrm{V}\)
\(h=6,63\cdot 10^{-35}\ \mathrm{J\cdot s}\)
\(e=1,6\cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}\)
\(u=1,66\cdot 10^{-27}\ \mathrm{kg}\)
A hullámhossz és a lendület összefüggésének felírása:
1 pont
\[p=\frac{h}{\lambda}\]
A részecske mozgási energiája, a gyorsítófeszültség, illetve a lendület közti összefüggés
\[e\cdot U=\frac{1}{2}mv^2=\frac{\ \ p^2}{2m}\]
4 pont
(bontható)
Mivel a hidrogénizotóp megadott töltése \(e\), amely töltés az elektromos térben mozog,
\[E_{\mathrm{mozg}}=e\cdot U\]
(2 pont)
energiára tesz szert, tehát
\[e\cdot U=\frac{\ \ p^2}{2m}\]
(2 pont)
(Az utolsó képlet felírása minden magyarázat nélkül teljes pontszámot ér.)
Az izotóp tömegének meghatározása:
4 pont
(bontható)
\[m=\frac{h^2}{{\lambda}^2}\cdot \frac{1}{2\cdot e\cdot U}\] \[m=5\cdot 10^{-27}\ \mathrm{kg}\]
(rendezés + számítás, 2 + 2 pont)
$\Big($Természetesen teljes értékű eljárás, ha a vizsgázó először meghatározza az izotóp sebességét, majd ezt szorozza meg a tömeggel, hogy megkapja a lendületet, és abból a hullámhosszat:
\[v=\sqrt{\frac{2\cdot e\cdot U}{m}}\]
\[p=m\cdot v\] \[p=m\cdot \sqrt{\frac{2\cdot e\cdot U}{m}}\] \[p=\sqrt{2m\cdot e\cdot U}\] \[p=\frac{h}{\lambda}\Big)\]
A tömeg összehasonlítása az atomi tömegegységgel és a válasz megadása:
2 pont
Mivel a tömeg körülbelül háromszorosa az atomi tömegegységnek, a keresett izotóp a trícium.
Összesen: 11 pont