Egy belső ellenállással is rendelkező feszültségforrásra különböző \(R_{\mathrm{k}}\) külső ellenállásokat kapcsolunk, és mérjük a külső ellenállásokon megjelenő \(P_{\mathrm{k}}\) elektromos teljesítményeket. A mérési eredményeket a mellékelt grafikon tartalmazza.
a) Határozza meg a feszültségforrás belső ellenállását!
$R_{\mathrm{b}}=2\ \Omega$
a) Ohm törvényének alkalmazása a teljes áramkörre:
2 pont
\[I=\frac{\mathscr{E}}{R_{\mathrm{k}}+R_{\mathrm{b}}}\]
A külső ellenálláson megjelenő teljesítmény kifejezése a feszültségforrás jellemzőivel és a külső ellenállással:
2 pont
\[P_{\mathrm{k}}=I^2\cdot R_{\mathrm{k}}\]
\[P_{\mathrm{k}}=\frac{R_{\mathrm{k}}\cdot {\mathscr{E}}^2}{{\left(R_{\mathrm{k}}+R_{\mathrm{b}}\right)}^2}\]
(\(\mathscr{E}\) helyett \(U_0\) is elfogadható.)
Legalább két adat‑pár leolvasása a megadott grafikonról és az egyenletrendszer felírása:
3 pont
\[P_{\mathrm{k1}}=\frac{R_{\mathrm{k1}}\cdot {\mathscr{E}}^2}{{\left(R_{\mathrm{k1}}+R_{\mathrm{b}}\right)}^2}\]
\[P_{\mathrm{k2}}=\frac{R_{\mathrm{k2}}\cdot {\mathscr{E}}^2}{{\left(R_{\mathrm{k2}}+R_{\mathrm{b}}\right)}^2}\]
Az egyenletrendszer megoldása:
3 pont
(bontható)
Például az \(\left[R_{\mathrm{k1}}=1\ \Omega;\ P_{\mathrm{k1}}=16\ W\right]\) és \(\left[R_{\mathrm{k2}}=2\ \Omega; P_{\mathrm{k2}}=18\ W\right]\) leolvasott adatokkal a másodfokú egyenlet és megoldásai a következők:
\[7R_{\mathrm{b}}^2-4R_{\mathrm{b}}-20=0\]
(A 3 pont akkor adható meg, ha a vizsgázó eljut az ismeretlent tartalmazó másodfokú egyenletig.)
\[R_{\mathrm{b1}}=2\ \Omega\]
\[R_{\mathrm{b2}}=-\frac{10}{7}\ \Omega\]
A feszültségforrás belső ellenállása (ami ugyebár csak pozitív lehet):
1 pont
\[R_{\mathrm{b}}=2\ \Omega\]
A egyenletrendszer paraméteres felírása és megoldása nem követelmény, elfogadható a mérőszámokkal felírt alak is. Ha a vizsgázó eredménye csak a grafikonról történő leolvasás pontatlansága miatt tér el a megadott értéktől, akkor megoldását fogadjuk el helyesnek! Ha a megoldó hivatkozik arra az ismeretre, hogy egy belső ellenállással rendelkező feszültségforrás esetén akkor kapunk maximális külső teljesítményt, ha a külső ellenállás és a belső ellenállás megegyezik, és ennek felhasználásával jut az \(R_{\mathrm{k}}=2\ \Omega\) eredményre, akkor ez teljes értékű megoldásként fogadható el az alábbi pontozással:
- Az elv kimondása: 7 pont
- A teljesítmény maximumához tartozó \(R_{\mathrm{k}}\) leolvasása: 3 pont
- Az \(R_{\mathrm{b}}\) megadása: 1 pont
b) Határozza meg a feszültségforrás elektromotoros erejét (üresjárási feszültségét)!
$\mathscr{E}=12\ \mathrm{V}$
b) A feszültségforrás elektromotoros erejének kiszámítása:
3 pont
(bontható)
\[\mathscr{E}=I\cdot R_{\mathrm{e}}\]
amiben például
\[R_{\mathrm{e}}=R_{\mathrm{k1}}+R_{\mathrm{b}}\]
az \(I\) áramerősséget pedig a
\[P_{\mathrm{k1}}=I^2\cdot R_{\mathrm{k1}}\]
egyenletből rendezzük ki:
\[I=\sqrt{\frac{P_{\mathrm{k1}}}{R_{\mathrm{k1}}}}\]
Ezekkel
\[\mathscr{E}=\sqrt{\frac{P_{\mathrm{k1}}}{R_{\mathrm{k1}}}}\cdot \left(R_{\mathrm{k1}}+R_{\mathrm{b}}\right)\]
\[\mathscr{E}=12\ \mathrm{V}\]
Összesen: 14 pont