Egy hosszú, egyik végén zárt üvegcsőben két \(1\ \mathrm{cm}\) széles dugattyú zárja el a normál nyomású levegőt, az ábrának megfelelő módon. Az üvegcső belső átmérője \(2\ \mathrm{cm}\). Ha a külső dugattyút nagyon lassan, egy fonál segítségével \(5\ \mathrm{cm}\)-rel kijjebb húzzuk, akkor a két dugattyú \(6\ \mathrm{cm}\)-es légoszlopot fog közre. (A dugattyúk súrlódása elhanyagolhatóan kicsi. A külső légnyomás: \(p_0=10^5\ \mathrm{Pa}\))
a) Mekkora a bezárt levegő nyomása a két térfogatrészben a külső dugattyú kihúzása után?
$p=6,6\cdot 10^4\ \mathrm{Pa}$
a) Az állapotváltozás típusának felismerése:
1 pont
A lassú tágulás miatt az állapotváltozás izoterm. (Külön megfogalmazás nélkül is jár a pont, ha a vizsgázó az állapotváltozást a számítások során izotermnek tekinti.)
A Boyle–Mariotte-törvény alkalmazása a teljes levegőoszlopra:
\[pV=\mathrm{állandó}\]
1 pont
Az állandó keresztmetszet miatt a térfogatok aránya a levegőoszlopok hosszának arányával egyenlő.
\[l_0=10\ \mathrm{cm}\]
\[l=15\ \mathrm{cm}\]
1 pont
\[\frac{p}{p_0}=\frac{V_0}{V}=\frac{l_0}{l}=\frac{2}{3}\]
tehát
\[p=0,66\cdot p_0=6,6\cdot 10^4\ \mathrm{Pa}\]
2 pont
b) Mekkora erővel kell tartani ebben az állapotban a külső dugattyúhoz rögzített fonalat?
$F=10,4\ \mathrm{N}$
b) A nyomásegyensúly megfogalmazása:
2 pont
\[p+\frac{F}{A}=p_0\]
A nyomóerő kiszámítása:
2 pont
(bontható)
\[A=r^2\cdot \pi\]
\[A=3,14\cdot 10^{-4}\ \mathrm{m^2}\]
\[F=\left(p_0-p\right)\cdot A\]
\[F=10,4\ \mathrm{N}\]
c) Mekkora volt kezdetben a két dugattyú távolsága?
$l_1=4\ \mathrm{cm}$
A Boyle–Mariotte-törvény alkalmazása a két dugattyú közötti levegőoszlopra:
3 pont
(bontható)
\[\frac{l_1}{l_2}=\frac{V_1}{V_2}=\frac{p}{p_0}=\frac{2}{3}\]
amiből
\[l_1=4\ \mathrm{cm}\]
Összesen: 12 pont