Liftben a mennyezetre erősített rugóra egy \(0,5\ \mathrm{kg}\) tömegű test van függesztve. A rugó rugóállandója \(50\ \mathrm{\displaystyle\frac{N}{m}}\). A lift felfelé indul \(2\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{\ s^2}}\) gyorsulással. Mekkora a rugó teljes megnyúlása?
A) \(12\ \mathrm{cm}\)
B) \(10\ \mathrm{cm}\)
C) \(9\ \mathrm{cm}\)
D) \(0\ \mathrm{cm}\)
A) \(12\ \mathrm{cm}\)
B) \(10\ \mathrm{cm}\)
C) \(9\ \mathrm{cm}\)
D) \(0\ \mathrm{cm}\)
A rugó \(\mathit{\Delta} l\) megnyúlását a rugó erőtörvényéből számíthatjuk:
\[F_\mathrm{R}=D\cdot \mathit{\Delta} l\]
A \(D\) rugóállandót megadták:
\[D=50\ \mathrm{\frac{N}{m}}\]
de az \(F_{\mathrm{R}}\) rugóerőt nem tudjuk, úgyhogy ki kell számolnunk. Mivel az \(F_\mathrm{R}\) rugóerő a rugóra akasztott nehezékre is hat, ezért az \(F_{\mathrm{R}}\) rugóerőt megpróbálhatjuk kiszámolni a nehezék mozgásegyenletével. Készítsünk ábrát:
Írjuk fel a rugóra akasztott testre a dinamika alapegyenletét:
\[\Sigma F=m\cdot a\]
\[F_\mathrm{R}+m\cdot g=m\cdot a\]
Írjuk be az adatokat, ügyelve arra, hogy a választott pozitív irányunk felfelé van:
\[F_\mathrm{R}+m\cdot \left(-10\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}\right)=m\cdot a\]
\[F_\mathrm{R}+0,5\ \mathrm{kg}\ \left(-10\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}\right)=0,5\ \mathrm{kg}\cdot 2\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}\]
\[F_\mathrm{R}-5\ \mathrm{N}=1\ \mathrm{N}\]
\[F_\mathrm{R}=6\ \mathrm{N}\]
Ezt (a rugóállandó adattal együtt) beírjuk a rugó erőtörvényébe:
\[F_\mathrm{R}=D\cdot \mathit{\Delta} l\]
\[6\ \mathrm{N}=50\ \mathrm{\frac{N}{m}}\cdot \mathit{\Delta} l\]
\[\mathit{\Delta} l=\frac{6\ \mathrm{N}}{50\ \mathrm{\displaystyle \frac{N}{m}}}\]
\[\mathit{\Delta} l=0,12\ \mathrm{m}=12\ \mathrm{cm}\]
Felmerülhet, hogy miért "teljes" megnyúlást kérdez a feladat. Azért, mert a rugónak már olyankor is van megnyúlása, amikor a lift nyugalomban van. Ilyenkor a test a rá ható két erő hatására nyugalomban van, vagyis a gyorsulása nulla:
\[\Sigma F=m\cdot 0\]
\[F_\mathrm{R}+m\cdot g=0\]
\[F_\mathrm{R}+m\cdot \left(-10\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}\right)=0\]
\[F_\mathrm{R}=m\cdot 10\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}\]
\[D\cdot \mathit{\Delta} l=m\cdot 10\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}\]
\[50\ \mathrm{\frac{N}{m}}\cdot \mathit{\Delta} l=0,5\ \mathrm{kg}\cdot 10\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}\]
\[\mathit{\Delta} l=0,1\ \mathrm{m}\]
vagyis már nyugalomban lévő lift esetében is van $10\ \mathrm{cm}$ megnyúlása a rugónak.
Amikor a lift felfelé gyorsul, akkor ennél is nagyobb lesz a megnyúlás, és esetleg valaki azt gondolhatná, hogy a "nyugalmi megnyúláshoz képesti többlet megnyúlás"-t kérdezik. Tehát az egyértelműség kedvéért kérdezték a "teljes megnyúlás"-t.