Egy fűtőszál teljesítményének növelése reményében a fűtőszálat félbevágjuk, és a két darabból egy‑egy melegítőeszközt készítünk. Az alábbi három eset mindegyikében a $230\ \mathrm{V}$‑os háztartási hálózatra kapcsoljuk az eszközöket. Melyik esetben érhetjük el a legnagyobb teljesítményt? (Az esetleges hőmérséklet‑változásból adódó ellenállás‑változásoktól eltekintünk.)
A) Az eredeti hosszúságú fűtőszálat használjuk.
B) A két kisebb fűtőszálú eszközt egyszerre használjuk.
C) Az egyik kisebb fűtőszálú eszközt használjuk.
A) Az eredeti hosszúságú fűtőszálat használjuk.
B) A két kisebb fűtőszálú eszközt egyszerre használjuk.
C) Az egyik kisebb fűtőszálú eszközt használjuk.
Legyen az eredeti fűtőszál ellenállása \(R\), a hálózati feszültség \(U=230\ \mathrm{V}\)!
Az áram hőteljesítménye:
\[P=U\cdot I=I^2\cdot R=\frac{\ U^2}{R}\]
Mivel az ellenállásról és a feszültségről vannak ismereteink, ezért a 3. verziót használjuk:
\[P=\frac{\ U^2}{R}\]
Az eredeti esetben pont ennyi a teljesítmény:
\[P_0=\frac{\ U^2}{R}\]
Ha a fűtőszálat két darabra vágjuk, akkor a keletkező kisebb darabok ellenállása fele lesz az eredeti \(R\) ellenállásnak, ugyanis a drót ellenállása:
\[R=\varrho\cdot \frac{l}{A}\]
és a kettévágástól csak a hossz változik, méghozzá a felére. Tehát egy kisebb fűtőszál ellenállása:
\[R_1=\frac{R}{2}\]
Emiatt egy kisebb fűtőszálat ugyanarra az \(U\) feszültségre kapcsolva a teljesítménye:
\[P_1=\frac{\ U^2}{\displaystyle \frac{R}{2}}\]
\[P_1=2\cdot \frac{\ U^2}{R}\]
Ha két ilyen kisebb fűtőszálra is a hálózati feszültséget kapcsoljuk, akkor az összes teljesítményük az egy fűtőszál teljesítményének duplája lesz:
\[P_2=2\cdot P_1\]
\[P_2=2\cdot 2\cdot \frac{\ U^2}{R}\]
\[P_2=4\cdot \frac{\ U^2}{R}\]
Vagyis akkor kapjuk a legnagyobb teljesítményt, ha mindkét kisebb darabot rákötjük a hálózatra.