A terheléssel együtt \(320\ \mathrm{kg}\) össztömegű jégvitorlásra – miközben hátszélben halad – a levegő a relatív sebesség négyzetével arányos nagyságú erőt fejt ki. Az arányossági tényező: \(\displaystyle K=2,5\ \frac{\mathrm{N}}{\displaystyle \left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^{\! 2}}\). A talpak és a jégfelület között a súrlódási tényező \(0,05\). Megfigyelték, hogy \(\displaystyle 10\ \mathrm{\frac{m}{s}}\) nagyságú szélsebesség esetén a szán egyenes vonalú egyenletes mozgást végez.
Mekkora ebben az esetben a szán sebessége?
$\displaystyle v_{\mathrm{j}}=2\ \mathrm{\frac{m}{s}}$
Először készítsünk egy ábrát, feltüntetve a sebességeket és az erőket:
A jégvitorlásra két erő hat: egyrészt az áramló levegő által kifejtett $F$ erő, ami a feladat szerint a jégvitorlásnak a levegőhöz képesti $v_{\mathrm{r}}$ relatív sebességének négyzetével arányos:
$$F=K \cdot v_{\mathrm{r}}^2$$
A $v_{\mathrm{r}}$ relatív sebesség azt jelenti, hogy mennyi a levegő talajhoz képesti $v_{\mathrm{L}}$ sebességének és a jégvitorlás $v_{\mathrm{j}}$ sebességének a különbsége:
$$v_{\mathrm{r}}=v_{\mathrm{L}}-v_{\mathrm{j}}$$
Tehát az áramló levegő által a vitorlára kifejtett erő (hajtóerő, tolóerő):
$$F=K \cdot v_{\mathrm{r}}^2$$
$$F=K \cdot (v_{\mathrm{L}}-v_{\mathrm{j}})^2$$
Másrészt a jégvitorlásra hat az alja és a jég között ébredő csúszási súrlódási erő, hátrafelé:
$$F_{\mathrm{s}}=\mu \cdot F_{\mathrm{ny}}$$
Mivel a jégvitorlásra függőlegesen az $mg$ nehézségi erő hat lefelé, valamint a jég által kifejtet függőleges $F_{\mathrm{ny}}$ nyomóerő, és függőleges gyorsulása sincsen, ezért ennek a két függőleges erőnek is azonos nagyságúnak kell lennie, hogy kioltsák egymást:
$$F_{\mathrm{ny}}=mg$$
Ez alapján a csúszási súrlódási erő:
$$F_{\mathrm{s}}=\mu_{\mathrm{s}} \cdot mg$$
Írjuk fel Newton II. törvényét a vízszintes irányra, a pozitív irányt a jégvitorlás haladási irányába véve:
$$\Sigma F_{\mathrm{x}}=m\cdot a_{\mathrm{x}}$$
$$F-F_{\mathrm{s}}=m\cdot a_{\mathrm{x}}$$
A jégvitorlás egyenletes sebességgel halad, ezért az $a_{\mathrm{x}}$ vízszintes gyorsulása nulla:
$$F-F_{\mathrm{s}}=0$$
Írjuk be az erőkre kapott kifejezéseket:
$$K \cdot (v_{\mathrm{L}}-v_{\mathrm{j}})^2-\mu_{\mathrm{s}} \cdot mg=0$$
Az adataink:
$m=320\ \mathrm{kg}$
$\displaystyle v_{\mathrm{L}}=10\mathrm{\frac{m}{s}}$
$\displaystyle K=2,5\ \mathrm{\frac{N}{\displaystyle \frac{m}{s^2}}}$
$\mu_{\mathrm{s}}=0,05$
$\displaystyle g=10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}$
Minden adat SI-egységben van, így a mértékegységek elhagyhatók:
$$K \cdot (v_{\mathrm{L}}-v_{\mathrm{j}})^2-\mu_{\mathrm{s}} \cdot mg=0$$
$$2,5 \cdot (10-v_{\mathrm{j}})^2-0,05 \cdot 320\cdot 10=0$$
Ebből kirendezve a jégvitorlás keresett $v_{\mathrm{j}}$ sebességét:
$$v_{\mathrm{j}}=2\ \mathrm{\frac{m}{s}}$$