a)  A lezárt fecskendőt valamihez rögzítjük, majd a dugattyúját az ujjunkkal lassan benyomjuk, egészen a \(40\ \mathrm{ml}\)‑es jelzésig. Mekkora erővel kell nyomni a dugattyút, hogy folyamatosan itt tartsuk?

\(F_{ny}=150\ \mathrm{N}\)

A bezárt levegő az összenyomástól (kompresszió) felmelegszik, hiszen a dugattyú erőt fejt ki a bezárt levegőre, és az erő irányában elmozdulás is történik, így ennek az erőnek pozitív munkavégzése van, ami energiaátadást jelent, ez növeli a bezárt levegő belső energiáját. De mivel az összenyomást lassan végezzük, ezért hiába melegszik fel a kompressziótól a levegő, van ideje, hogy a környezet felé leadjon hőt, azaz visszahűljön a szoba hőmérsékletére. Emiatt a bezárt levegő hőmérséklete állandóan a szoba hőmérsékletével szinte egyező, így a folyamat izotermnek tekinthető. Izoterm esetben az állapotegyenlet, ha a folyamat során állandó mennyiségeket aláhúzzuk, ilyen alakot ölt:

\[p\cdot V=\underline{n}\cdot \underline{R}\cdot \underline{T}\]

ahol az \(n\) anyagmennyiség amiatt állandó, mert a bezárt levegőből nem tud kiszökni semennyi. Emiatt a gáztörvényünk:

\[p\cdot V=\mathr{konst.}\]

ami a Boyle‑Mariotte‑törvény, vagyis:

\[p_1\cdot V_1=p_2\cdot V_2\]

Tudjuk, hogy kezdetben a nyomás a szoba levegőjével azonos:

\[p_1=1\ \mathrm{bar}\]

A kezdeti térfogat:

\[V_1=100\ \mathrm{ml}\]

A végső térfogat:

\[V_2=40\ \mathrm{ml}\]

Ezeket beírva:

\[p_1\cdot V_1=p_2\cdot V_2\]

\[1\ \mathrm{bar}\cdot 100\ \mathrm{ml}=p_2\cdot 40\ \mathrm{ml}\]

Ebből:

\[p_2=2,5\ \mathrm{bar}\]

Most már tudjuk, hogy mekkora lesz a nyomás belül. Nézzük, milyen erők hatnak a dugattyúra!

Az erő és a nyomás közötti összefüggés:

\[p=\frac{F}{A}\]

Így nyomja a dugattyút belülről kifelé a bezárt levegő, illetve kívülről befelé a kinti (szobai \(1\ \mathrm{bar}\) nyomású) levegő. De mivel ezek nem egyenlők, az egyensúlyhoz szükség van az ujjunk által a dugattyúra befelé irányban kifejtett \(F_{ny}\) nyomóerőre is. Ha a pozitív irányt jobbra vesszük fel, akkor az erőegyensúly egyenlete a vízszintes \(x\) irányra:

\[\Sigma F_x=0\]

\[2,5\ \mathrm{bar}\cdot A-1\ \mathrm{bar}\cdot A-F_{ny}=0\]

\[1,5\ \mathrm{bar}\cdot A-F_{ny}=0\]

\[1,5\ \mathrm{bar}\cdot A=F_{ny}\]

\[1,5\cdot 10^5\ \mathrm{Pa}\cdot A=F_{ny}\]

Tehát ki kell számolnunk a fecskendő \(A\) keresztmetszetét. Tudjuk, hogy az átmérője:

\[d=36\ \mathrm{mm}\]

vagyis a sugara:

\[r=18\ \mathrm{mm}=0,018\ \mathrm{m}\]

Mivel a fecskendő hengeres (körkeresztmetszetű), ezért a keresztmetszete a kör területeként számítható:

\[A=r^2\cdot \pi\]

\[A={(0,018\ \mathrm{m})}^2\cdot \pi\]

\[A=0,001\ \mathrm{m^2}\]

Ezt beírva:

\[1,5\cdot 10^5\ \mathrm{Pa}\cdot A=F_{ny}\]

\[1,5\cdot 10^5\ \mathrm{Pa}\cdot 0,001\ \mathrm{m^2}=F_{ny}\]

\[F_{ny}=150\ \mathrm{N}\]

Vagyis egy \(15\ \mathrm{kg}\) tömegű test súlyának megfelelő erő szükséges a benyomva tartáshoz.