Egy felfüggesztett csigán átvetett fonál végeire 2-2 egyforma súlyt akasztunk, elengedjük és megmérjük a csigát tartó kötélben ébredő erőt. Azután az egyik oldalról a másikra helyezünk egy súlyt és elengedjük a rendszert. Hogyan változik a csigát tartó kötélben ébredő erő?
A) A kötélben ébredő erő megnő.
B) A kötélben ébredő erő nem változik.
C) A kötélben ébredő erő lecsökken.
A) A kötélben ébredő erő megnő.
B) A kötélben ébredő erő nem változik.
C) A kötélben ébredő erő lecsökken.
A feladat megválaszolható több úton is:
1. megoldás
Tekintsük vizsgálandó rendszernek az összes nehezéket, a kötelet és csigát együttvéve! A rendszer tömegközéppontjának (TKP) gyorsulását a rendszerre ható külső erők határozzák meg (a belső erők erő-ellenerő párokként kioltják egymást, így nem kell velük foglalkoznunk). Az első esetben a nehezékekaz elengedés után nyugalomban maradnak, így a rendszer TKP-jának gyorsulása nulla. Ez úgy lehetséges, ha a rendszerre ható külső erők (is)kioltják egymást. Nézzük, milyen külső erők vannak:
- mindegyik nehezékre hat lefelé egy-egy \(mg\) nehézségi erő
- a csigára hat a felfüggesztésnél a kötélben, felfelé irányban egy tartóerő (amire rákérdez a feladat)
Ezek alapján a csigára ható kötélerő \(4mg\) nagyságú.
A második esetben annyi biztos, hogy a jobb oldali ágban lévő 3 nehezék lefelé kezd el gyorsulva mozogni, tehát lefelé van a gyorsulásuk, a bal oldali ágban lévő egyetlen nehezék pedig felfelé indul, tehát felfelé van a gyorsulása. Mivel az ideális kötél nyújthatatlan, ezért a gyorsulások a két ágban azonos nagyságúak lesznek. De a jobb oldali ágban \(3m\) tömeg gyorsul lefelé, míg a bal oldaliban csak \(m\) tömeg, ezért a rendszer TKP-ja lefelé fog gyorsulni. Ez csak úgy lehetséges, ha a rendszerre ható külső erők eredője lefelé mutat. Nehézségi erőből most is összesen \(4mg\) van lefelé, ez alapján a csigára ható, felfelé irányuló kötélerőnek ennél kisebbnek kell lennie. Tehát az első esetben ébredő \(4mg\) nagyságú kötélerő helyett a második esetben kisebb a kötélerő, vagyis az lecsökkent.
2. megoldás
Írjuk fel az erőket ésa dinamikai egyenleteket, ezekből számítsuk ki a nehezékek tetejénél illetve a csiga oldalainál a kötélerőket. A csigára három erő hat:
- a bal oldalánál lefelé irányba húzza egy kötélerő
- a jobb oldalánál lefelé húzza egy ugyanekkora kötélerő
- felül a felfüggesztésnél húzza egy másik kötélerő
Mivel a csiga mindkét esetben nyugalomban van, ezért a csigára ható erők ki kell oltsák egymást. Ez úgy teljesülhet, ha a felfüggesztési kötélerő mindig azonos a mozgó kötélben ébredő kötélerő duplájával.
Első esetben a lenti kötélerő \(K=2mg\) mindkét ágban, hogy a nehezékek egyensúlyban legyenek. A m,ásodik esetben pedig (végigszámolva) az jön ki, hogy \(K=1,5\ mg\), tehát a lenti kötélerők lecsökkentek, így a fenti (a csiga felfüggesztésénél lévő) kötélerő, mely mindig a lenti költélerők duplája, az is le kellett hogy csökkenjen.