A repülőgépek hajtóművei hőerőgépek, melyek az égéstermék belső energiáját "megcsapolják", és annak egy részéből mechanikai munkát végeznek.
a) Számold ki az alábbi, izoterm folyamatban a munkavégzéseket! A hőmérséklet kezdetben $20\ \mathrm{{}^\circ C}$.
$\mathrm{A\to B}$ | $\mathrm{B\to A}$ | |
| $W^{\mathrm{gázon}}$ | $-2414\ J$ | $2414\ J$ |
| $W^{\mathrm{gáz\ által}}$ | $2414\ J$ | $-2414\ J$ |
1. Számold ki az alábbi, izoterm folyamatban a munkavégzéseket!
$\mathrm{A\to B}$ | $\mathrm{B\to A}$ | |
| $W^{\mathrm{gázon}}$ | $-2414\ \mathrm{J}$ | $2414\ \mathrm{J}$ |
| $W^{\mathrm{gáz\ által}}$ | $2414\ \mathrm{J}$ | $-2414\ \mathrm{J}$ |
Ideális gáz izoterm folyamatában a munkavégzések képletei:
\[W^{\mathrm{gáz\ által}}=nRT\cdot {ln \frac{V_2}{V_1}\ }=nRT\cdot {ln \frac{p_1}{p_2}\ }\]
\[W^{\mathrm{gázon}}=-nRT\cdot {ln \frac{V_2}{V_1}\ }=-nRT\cdot {ln \frac{p_1}{p_2}\ }\]
Tehát tudnunk kellene az $n$ mólszámot, az állandó értékű $T$ hőmérsékletet, továbbá vagy a térfogaz kezdeti és végső értékét, vagy a nyomás kezdeti és végső értékét.
Kezdjük az állandó $T$ hőmérséklettel, mert azt megadták:
\[T=20\ \mathrm{{}^\circ C}=293\ \mathrm{K}\]
Az $n$ mólszámot az állapotegyenlet segítségével ki tudjuk számítani a kezdeti értékekből:
\[pV=nRT\]
\[3\cdot {10}^5\ \mathrm{Pa}\cdot 5\ \mathrm{{dm}^3}=n\cdot 8,31\ \mathrm{\frac{J}{mol\cdot K}}\cdot 293\ \mathrm{K}\]
A térfogatot át kell váltanunk SI egységbe, azaz m${}^{3}$‑be:
\[3\cdot {10}^5\ \mathrm{Pa}\cdot 5\cdot {10}^{-3}\ \mathrm{m^3}=n\cdot 8,31\ \mathrm{\frac{J}{mol\cdot K}}\cdot 293\ \mathrm{K}\]
Ebből:
\[n=0,616\ \mathrm{mol}\]
Vajon nyomásokkal vagy térfogatokkal számoljunk? Mivel a grafikonon a nyomásnak szerepel a kezdeti és a végső értéke is, ezért kézenfekvőbb a nyomásos képletet használni, annak is a $W^{gáz\ által}$ változatát, ugyanis az egyszerűbb, mert nincs benne negatív előjel:
\[W^{\mathrm{gáz\ által}}=nRT\cdot {ln \frac{p_1}{p_2}\ }\]
\[W^{\mathrm{gáz\ által}}_{\mathrm{A\to B}}=0,616\ \mathrm{mol}\cdot 8,31\ \mathrm{\frac{J}{mol\cdot K}}\cdot 293\ \mathrm{K}\cdot {ln \frac{3\cdot {10}^5\ \mathrm{Pa}}{6\cdot {10}^4\ \mathrm{Pa}}\ }\]
\[{ln \frac{3\cdot {10}^5\ \mathrm{Pa}}{6\cdot {10}^4\ \mathrm{Pa}}\ }={ln 5\ }=1,609\]
\[W^{\mathrm{gáz\ által}}_{\mathrm{A\to B}}=2413,9\ \mathrm{J}\approx 2414\ \mathrm{J}\]
Ha esetleg nem tudunk róla, hogy az izoterm munkavégzéshez van "nyomásos" változatú képlet is, akkor sincsen gond. Ez esetben a gáztörvényekkel kiszámítjuk a grafikonon nem szereplő térfogatot, és azzal a munkát.
Ha ehhez képest "csak egy dolgot változtatunk" (a munka nézőpontját vagy a folyamat irányát), akkor az eredmény előjelet vált:
\[W^{\mathrm{gázon}}_{\mathrm{A\to B}}=-2414\ \mathrm{J}\]
\[W^{\mathrm{gázon}}_{\mathrm{B\to A}}=-2414\ \mathrm{J}\]
Ha pedig mindkettőt megváltoztatjuk, akkor a két előjelváltás kioltja egymást:
\[W^{\mathrm{gázon}}_{\mathrm{B\to A}}=2414\ \mathrm{J}\]
b) Számold ki az alábbi, adiabatikus folyamatban a munkavégzéseket!
$\mathrm{A\to B}$ | $\mathrm{B\to A}$ | |
| $W^{\mathrm{gázon}}$ | $-6915\ J$ | $6915\ J$ |
| $W^{\mathrm{gáz\ által}}$ | $6915\ J$ | $-6915\ J$ |
2. Számold ki az alábbi, adiabatikus folyamatban a munkavégzéseket!
$\mathrm{A\to B}$ | $\mathrm{B\to A}$ | |
| $W^{\mathrm{gázon}}$ | $-6915\ \mathrm{J}$ | $6915\ \mathrm{J}$ |
| $W^{\mathrm{gáz\ által}}$ | $6915\ \mathrm{J}$ | $-6915\ \mathrm{J}$ |
Ideális gáz adiabatikus folyamatában a munkavégzés képletek:
\[W^{\mathrm{gáz\ által}}=\frac{p_1V_1-p_2V_2}{\kappa -1}\]
\[W^{\mathrm{gázon}}=\frac{p_2V_2-p_1V_1}{\kappa -1}\]
ahol
\[\kappa =\frac{f+2}{f}\]
jelen esetben, mivel a feladat szerint a gáz kétatomos, ezért
\[f=5\]
\[\kappa =\frac{f+2}{f}=\frac{5+2}{5}=\frac{7}{5}=1,4\]
Így már a képletben szereplő minden tag ismert, úgyhogy írjuk be:
\[W^{\mathrm{gáz\ által}}=\frac{p_1V_1-p_2V_2}{\kappa -1}\]
\[W^{\mathrm{gáz\ által}}_{\mathrm{A\to B}}=\frac{3\cdot {10}^5\ \mathrm{Pa}\cdot 25\ \mathrm{{dm}^3}-6\cdot {10}^4\ \mathrm{Pa}\cdot 78,9\ \mathrm{{dm}^3}}{1,4-1}\]
A térfogatokat váltsuk át SI‑be:
\[W^{\mathrm{gáz\ által}}_{\mathrm{A\to B}}=\frac{3\cdot {10}^5\ \mathrm{Pa}\cdot 0,025\ \mathrm{m^3}-6\cdot {10}^4\ \mathrm{Pa}\cdot 0,0789\ \mathrm{m^3}}{1,4-1}\]
\[W^{\mathrm{gáz\ által}}_{\mathrm{A\to B}}=\frac{7500\ \mathrm{J}-4734\ \mathrm{J}}{0,4}\]
\[W^{\mathrm{gáz által}}_{\mathrm{A\to B}}=6915\ \mathrm{J}\]
Ha ehhez képest "csak egy dolgot változtatunk" (a munka nézőpontját vagy a folyamat irányát), akkor az eredmény előjelet vált:
\[W^{\mathrm{gázon}}_{\mathrm{A\to B}}=-6915\ \mathrm{J}\]
\[W^{\mathrm{gázon}}_{\mathrm{B\to A}}=-6915\ \mathrm{J}\]
Ha pedig mindkettőt megváltoztatjuk, akkor a két előjelváltás kioltja egymást:
\[W^{\mathrm{gázon}}_{\mathrm{B\to A}}=6915\ \mathrm{J}\]