A rakétákból kiáramló égéstermék gáz tipikus sebessége \(3\ \displaystyle \mathrm{\frac{km}{s}}\), mind szilárd, mind folyékony hajtóanyag esetén. A képen látható Falcon Heavy rakéta teljes indítási tömege \(1400\ \mathrm{tonna}\). Működéskor az RP‑1 kódjelű finomított kerozint égetik el a cseppfolyós állapotban tárolt oxigénnel. Indításkor \(1,2\ \mathrm{g}\) gyorsulással indul felfelé.
a) Hány $\mathrm{kg}$ fogy másodpercenként összesen az üzemanyagból és az oxigénből az induláskor?
$10,266\ \mathrm{tonna}$ másodpercenként
Készítsünk ábrát, hogy milyen erők hatnak a rakétára, ami ezek hatására gyorsulni kezd:
Válasszunk pozitív irány, mondjuk felfelé, és írjuk fel a dinamika alapegyenletét a függőleges irányra, vagyis az \(y\) irányra:
\[\Sigma F_y=m\cdot a_y\]
\[m\cdot g+F_{toló}=m\cdot a_y\]
Tudjuk, hogy a gyorsulás:
\[a_y=12\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
a rakéta tömege pedig
\[m=1400\ \mathrm{t}=1\ 400\ 000\ \mathrm{kg}\]
a nehézségi gyorsulás pedig
\[g=-10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]
(amiatt negatív az előjele, mivel tudjuk, hogy a nehézségi gyorsulás lefelé irányuló, márpedig a lefelé irány az ellentétes a választott pozitív irányunkkal, a felfelével).
Írjuk be az adatainkat, mindent SI egységben, így a mértékegységeket elhagyhatjuk:
\[m\cdot g+F_{\textit{toló}}=m\cdot a_y\]
\[1\ 400\ 000\cdot (-10)+F_{\textit{toló}}=1\ 400\ 000\cdot 12\]
\[-14\ 000\ 000+F_{\textit{toló}}=16\ 800\ 000\]
\[F_{\textit{toló}}=30\ 800\ 000\ \mathrm{N}\]
Ezt a tolóerőt (angolul thrust) az hozza létre, hogy a hajtóműben zajló folyamatok során felgyorsulnak az égéstermék részecskéi, amihez a hajtóműben valaminek erőt kell kifejtenie rájuk, emiatt pedig (Newton III. törvénye alapján) a felgyorsult égéstermék részecskék ugyanekkora, de ellentétes irányú erőt fejtenek ki a hajtóműre. Ez utóbbi, "reakcióerő"-t hívjuk tolóerőnek. Számítsuk ki, hogy mekkora \(M\) tömegű (hány kg-nyi) égésterméket kell másodpercenként a kilépési \(3\ \displaystyle \mathrm{\frac{km}{s}}\) sebességre felgyorsítani, hogy ehhez a fenti (tolóerő nagyságú) erőre legyen szükség!
Írjuk fel a dinamika alapegyenletét, de most a \(\Delta t=1\ \mathrm{s}\) alatt felgyorsuló, \(M\) tömegű égéstermékre:
\[F=M\cdot a\]
\[F=M\cdot \frac{\Delta v}{\Delta t}\]
Az égéstermék részecskék \(\Delta v\) sebességváltozása:
\[\Delta v=v_1-v_0\]
\[\Delta v=3\ \mathrm{\frac{km}{s}}-0\ \mathrm{\frac{km}{s}}\]
\[\Delta v=3\ \mathrm{\frac{km}{s}}\]
\[\Delta v=3000\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
Az adatokat beírva:
\[F=M\cdot \frac{\Delta v}{\Delta t}\]
\[30\ 800\ 000\ \mathrm{N}=M\cdot \frac{3000\ \displaystyle \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{1\ \mathrm{s}}\]
\[M=\frac{30\ 800\ 000}{3000}\]
\[M=10\ 266\ \mathrm{kg}=10,266\ \mathrm{t}\]
Ez a másodpercenkénti üzemanyag (és oxidáslószer) fogyás! Ilyen őrületes ütem mellett nem csoda, hogy csupán pár perc alatt kifogy az üzemanyag (bár az igazsághoz hozzátartozik, hogy a fogyás révén az össztömeg, amit gyorsítani kell, jelentősen csökken, így a vége felé már kisebb üzemban zajlik a fogyás).