Az egyatomos hidrogéngáz spektrumvonalait az
\[\frac{1}{\lambda}=R\cdot \left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2}\right)\]
Rydberg-formula "szedi rendbe", ahol \(\lambda\) a sugárzás hullámhossza; \(R\) a Rydberg-állandó:
\[\displaystyle R=1,1\cdot 10^7\ \frac{1}{m}\]
ahol \(n\) és \(m\) tetszőleges pozitív egész számok. A vonalak ez alapján csoportokba rendezhetők, például az \(n=1\) esetén, amikor is a relaxáció során alapállapotba jut vissza az elektron, az átmenetek a Lyman-sorozatba tartoznak. A Lyman-sorozat vonalai az ultraibolya tartományba, a Balmer‑sorozat nagy része a látható fény tartományba, a többi sorozat vonalai pedig teljesen az infravörös tartományba esnek.
A elektron lehetséges összenergiáját a
\[E_n=-2,18\ aJ\cdot \frac{1}{n^2}\]
"Bohr-formula" írja le, ahol \(n\) a főkvantumszám, melynek lehetséges értékei:
\[n=1;2;3;\dots\infty\]
a) Mekkora energiájú, frekvenciájú, hullámhosszú fotonnal lehet alapállapotból az 1. gerjesztett állapotba juttatni a hidrogénatom elektronját?
\(E_f=1,635\ \mathrm{aJ}\)
\(f=2,468\cdot 10^{15}\ \mathrm{\displaystyle \frac{1}{s}}\)
\(\lambda=1,216\cdot 10^{-7}\ \mathrm{m}=121,6\ \mathrm{nm}\)
A formula alapján számítsuk ki a szóban forgó állapotokban az elektron energiáját! Az alapállapotban a főkvantumszám:
\[n=1\]
ez alapján:
\[E_1=-2,18\ \mathrm{aJ}\cdot \frac{1}{1^2}\]
\[E_1=-2,18\ \mathrm{aJ}\cdot \frac{1}{1}\]
\[E_1=-2,18\ \mathrm{aJ}\]
Az 1. gerjesztett állapotban a főkvantumszám:
\[n=2\]
ez alapján:
\[E_2=-2,18\ \mathrm{aJ}\cdot \frac{1}{2^2}\]
\[E_2=-2,18\ \mathrm{aJ}\cdot \frac{1}{4}\]
\[E_2=-0,545\ \mathrm{aJ}\]
Az 1. gerjesztett állapotban az elektron energiája mennyivel nagyobb, mint az alapállapotban?
\[E_2-E_1=-0,545\ \mathrm{aJ}-(-2,18\ \mathrm{aJ})\]
\[E_2-E_1=1,635\ \mathrm{aJ}\]
értékkel nagyobb, vagyis ekkora energiájú fotonnal sikerülhet a gerjesztés.
A foton energiája:
\[E_f=h\cdot f\]
ahol \(h\) a Planck‑állandó:
\[h=6,626\cdot 10^{-34}\ \mathrm{Js}\]
Írjuk be ebbe a kiszámított fotonenergiát:
\[E_f=h\cdot f\]
\[1,635\ \mathrm{aJ}=6,626\cdot 10^{-34}\ \mathrm{Js}\cdot f\]
Írjuk be az atto prefixum jelentését:
\[1,635\cdot 10^{-18}\ \mathrm{J}=6,626\cdot 10^{-34}\ \mathrm{Js}\cdot f\]
Ebből a frekvenciát kirendezve:
\[f=0,2468\cdot 10^{16}\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]
\[f=2,468\cdot 10^{15}\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]
Ebből a foton hullámhosszát a
\[c=\lambda\cdot f\]
egyenletből kaphatjuk meg, ahol \(c\) a fénysebesség:
\[c=3\cdot 10^8\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
Mindent SI egységben beírva a mértékegységek elhagyhatók:
\[c=\lambda\cdot f\]
\[3\cdot 10^8=\lambda\cdot 2,468\cdot 10^{15}\]
Ebből a kérdéses foton hullámhossza:
\[\lambda=1,216\cdot 10^{-7}\ \mathrm{m}=121,6\ \mathrm{nm}\]
b) Mekkora energiájú, frekvenciájú, hullámhosszú fotont sugároz ki az elektron, amikor az 5. gerjesztett állapotból a 2. gerjesztett állapotba jut?
\(E_f=0,1817\ \mathrm{aJ}\)
\(f=2,74\cdot 10^{14}\ \mathrm{\displaystyle \frac{1}{s}}\)
\(\lambda=1,095\cdot 10^{-6}\ \mathrm{m}=1095\ \mathrm{nm}\)
A formula alapján számítsuk ki a szóban forgó állapotokban az elektron energiáját! Az 5. gerjesztett állapotban a főkvantumszám:
\[n=6\]
ez alapján:
\[E_6=-2,18\ \mathrm{aJ}\cdot \frac{1}{6^2}\]
\[E_6=-2,18\ \mathrm{aJ}\cdot \frac{1}{36}\]
\[E_6=-0,06056\ \mathrm{aJ}\]
Az 2. gerjesztett állapotban a főkvantumszám:
\[n=3\]
ez alapján:
\[E_3=-2,18\ \mathrm{aJ}\cdot \frac{1}{3^2}\]
\[E_3=-2,18\ \mathrm{aJ}\cdot \frac{1}{9}\]
\[E_3=-0,242\ \mathrm{aJ}\]
Az 5. gerjesztett állapotban az elektron energiája mennyivel nagyobb, mint a 2. gerjesztett állapotban?
\[E_6-E_3=-0,06056\ \mathrm{aJ}-(-0,242\ \mathrm{aJ})\]
\[E_6-E_3=0,1817\ \mathrm{aJ}\]
értékkel nagyobb, vagyis ekkora energiájú fotonnat fog kisugározni a legerjesztődéskor.
A foton energiája:
\[E_f=h\cdot f\]
ahol \(h\) a Planck‑állandó:
\[h=6,626\cdot 10^{-34}\ \mathrm{Js}\]
Írjuk be ebbe a kiszámított fotonenergiát:
\[E_f=h\cdot f\]
\[0,1817\ \mathrm{aJ}=6,626\cdot 10^{-34}\ \mathrm{Js}\cdot f\]
Írjuk be az atto prefixum jelentését:
\[0,1817\cdot 10^{-18}\ \mathrm{J}=6,626\cdot 10^{-34}\ \mathrm{Js}\cdot f\]
Ebből a frekvenciát kirendezve:
\[f=0,0274\cdot 10^{16}\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]
\[f=2,74\cdot 10^{14}\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]
Ebből a foton hullámhosszát a
\[c=\lambda\cdot f\]
egyenletből kaphatjuk meg, ahol \(c\) a fénysebesség:
\[c=3\cdot 10^8\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
Mindent SI egységben beírva a mértékegységek elhagyhatók:
\[c=\lambda\cdot f\]
\[3\cdot 10^8=\lambda\cdot 2,74\cdot 10^{14}\]
Ebből a kérdéses foton hullámhossza:
\[\lambda=1,095\cdot 10^{-6}\ \mathrm{m}=1095\ \mathrm{nm}\]
ami az infravörös tartományban van.
c) Mekkora a hidrogénatom által kisugározható legnagyobb energiájú foton energiája, frekvenciája, hullámhossza?
\(E_f=2,18\ \mathrm{aJ}\)
\(f=3,29\cdot 10^{15}\ \mathrm{\displaystyle \frac{1}{s}}\)
\(\lambda=9,118\cdot 10^{-8}\ \mathrm{m}=91,18\ \mathrm{nm}\)
A lehetséges legnagyobb energiájú foton úgy keletkezik, ha a hidrogénatom magjához (protonhoz) az elektron semennyire sincs kötve, ami úgy lehetséges, hogy végtelen távol van tőle, az energiája ekkor nulla. Ha leugrik a legalsó (alapállapotú) pályára, akkor a kezdeti nulla energiájú állapotból jut el az alapállapotba, ahol az energiája:
\[E_1=-2,18\ \mathrm{aJ}\cdot \frac{1}{1^2}\]
\[E_1=-2,18\ \mathrm{aJ}\]
Ennek az átmenetnek az energiakülönbsége értelemszerűen \(2,18\ \mathrm{aJ}\), vagyis ennyi energiát sugároz ki foton formájában:
\[E_f=2,18\ \mathrm{aJ}\]
A foton energiája:
\[E_f=h\cdot f\]
ahol \(h\) a Planck‑állandó:
\[h=6,626\cdot 10^{-34}\ \mathrm{Js}\]
Írjuk be ebbe a fent kapott fotonenergiát:
\[E_f=h\cdot f\]
\[2,18\ \mathrm{aJ}=6,626\cdot 10^{-34}\ \mathrm{Js}\cdot f\]
Írjuk be az atto prefixum jelentését:
\[2,18\cdot 10^{-18}\ \mathrm{J}=6,626\cdot 10^{-34}\ \mathrm{Js}\cdot f\]
Ebből a frekvenciát kirendezve:
\[f=0,329\cdot 10^{16}\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]
\[f=3,29\cdot 10^{15}\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]
Ebből a foton hullámhosszát a
\[c=\lambda\cdot f\]
egyenletből kaphatjuk meg, ahol \(c\) a fénysebesség:
\[c=3\cdot 10^8\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
Mindent SI egységben beírva a mértékegységek elhagyhatók:
\[c=\lambda\cdot f\]
\[3\cdot 10^8=\lambda\cdot 3,29\cdot 10^{15}\]
Ebből a kérdéses foton hullámhossza:
\[\lambda=9,118\cdot 10^{-8}\ \mathrm{m}=91,18\ \mathrm{nm}\]
ami a távoli UV (ultraibolya) tartományban van.