a)  Mekkora lesz a hasábok gyorsulása, és a hasábokat összekötő kötélben ébredő \(K\) kötélerő?

\(\displaystyle a= 5\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\)

\(K=10\ \mathrm{N}\)

A hasábokat egy rendszernek tekintve, rájuk csak az \(F\) vízszintes húzóerő hat, így ennek hatására biztosan gyorsulni fognak a hasábok. Mivel az őket összekötő kötél nyújthatatlan, ezért a hasábok távolsága mindvégig állandó lesz, így az ő gyorsulásuk megegyezik, tehát nem kell külön \(a_1\) és \(a_2\) gyorsulásokat felvennünk ismeretlennek, hanem elég csak egy közös \(a\) gyorsulást:

Azt el tudjuk képzelni, hogy a húzás során a hasábokat összekötő kötél megfeszül, vagyis lesz kötélerő. Ez a jobb oldali (általunk meghúzott) hasábra balra irányuló kötélerőt jelent:

Vajon ez a \(K\) kötélerő mekkora az \(F\) húzóerőhöz képest? Ugyanakkora nem lehet, hiszen akkor a jobb oldali hasábra ható két erő kioltaná egymás hatását, azaz a hasábnak nem lenne gyorsulása. A kötélerő nagyobb sem lehet, mint az \(F\) húzóerő, mert akkor a jobb oldali hasáb az eredő erő irányába, azaz balra indulna el. Tehát a kötélerő biztosan kisebb lesz, mint a húzóerő.

A kötél hátsó vége is biztosan erőt fejt ki a bal hasábra, hiszen enélkül az nem indulna el, tehát ott is kell lennie \(K\) kötélerőnek:

Vajon a kötél két végén ébredő kötélerők azonos nagyságúak (ahogy az ábrán két azonios piros nyíllal felüntettük)? Ehhez végiggondoljuk, hogy a kötélre milyen erők hatnak. Ha a kötél erőt fejt ki egy hasábra (piros nyilak), akkor Newton III. törvénye értelmében az a hasáb "erő-ellenerő párként" egy ugyanekkora, de ellentétes irányú erőt fejt ki a kötélre (narancssárga nyilak).

Ezeket a narancssárga nyíllal jelzett erőket nem is szokás berajzolni, hiszen mi a hasábok mozgását akarjuk megjósolni, a hasábok mozgását pedig a hasábokra ható erők határozzák meg; ezek a sárga erők viszont a kötélre hatnak, nem a haasábokra. A kötélre ható két narancssárga erő vajon azonos nagyságú kell legyen? Mivel a kötél tömegnélküli ("súlytalan"), ezért ahhoz, hogy a kötél (a hasábokkal együtt) gyorsuljon, nem szükséges eredő erő; ellentétben a tömeggel rendelkező testekkel, melyek csak eredő erő esetén gyorsulhatnak. (Pontosabban fogalmazva: nem szabad, hogy a gyorsuló, tömeg nélküli kötélre hasson eredő erő, hiszen van elmozdulása, emiatt az eredő erőnek lenne munkája, ami révén energiát adna a kötélnek, de az a nulla tömege miatt nem tud átvenni energiát mozgási energia formájában. A kötél a nyújtatlansága miatt pedig rugalmas energia formájában sem tud energiát átvenni, de ezt most még nem tanultuk, majd az energiáknál fogjuk.) Tehát a "súlytalan" kötél gyorsításához nem kell eredő erő, azaz a kötél két végét feszítő sárga kötélerők azonos nagyságúak. Newton III. törvénye alapján pedig a piros erők ezekkel azonos nagyságúak, így azt kaptuk, hogy a súlytalan kötél a két végén azonos nagyságú erővel húzza a hozzá kapcsolódó hasábokat. Tehát a piros kötélerők azonos nagyságúak:

Mivel az események a vízszintes síkban zajlanak, ezért a vízszintes, x-tengely mentén vizsgálódunk. Válasszunk a vízszintes tengely mentén pozitív irányt (mondjuk jobbra), és írjuk fel a mozgásegyenletet vízszintes irányra, először a bal hasábra:

\[\Sigma F=m\cdot a\]

\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ K=m\cdot a\ \ \ \ \ (1.)\]

Írjuk fel a mozgásáegyenletet vízszintes irányra a jobb oldali hasábra is:

\[\Sigma F=m\cdot a\]

\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ F-K=m\cdot a\ \ \ \ \ (2.)\]

Itt a \(K\) kötélerő előjelével jeleztük, hogy róla tudjuk, hogy ő balra, negatív irányba hat.

Olyan egyenletrendszerünk van, mely 2 egyenletből áll, és 2 ismeretlenje van (\(K\) és \(a\)), tehát meg fogjuk tudni oldani. Az (1.) egyenletben a \(K\) ismeretlen pont ki van fejezve, írjuk be ezt a (2.) egyenletbe:

\[F-m\cdot a=m\cdot a\]

\[F=2\cdot m\cdot a\]

\[a=\frac{F}{2m}\]

Az adatokat beírva:

\[a=\mathrm{\frac{20\ \mathrm{N}}{2\cdot 2\ \mathrm{kg}}}\]

\[a= 5\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]

Tehát a hasábok ekkora gyorsulással fognak mozogni.

Mekkora a \(K\) kötélerő? Ezt megkaphatjuk, ha a kiszámított gyorsulásértéket behelyettesítjük az (1.) egyenletbe:

\[K=m\cdot a\]

\[K=m\cdot \frac{F}{2m}\]

\[K=\frac{F}{2}\]

\[K=10\ \mathrm{N}\]