Miközben a Föld kering a Nap körül, a Hold kering a Föld körül...
$\bigg($Adatok: \(M_{\mathrm{Föld}}=6\cdot 10^{24}\ \mathrm{kg}\), \(R_{\mathrm{Nap-Föld}}=150\cdot 10^6\ \mathrm{km}\), \(M_{\mathrm{Nap}}=2\cdot 10^{30}\ \mathrm{kg}\), \(M_{\mathrm{Hold}}=7,4\cdot 10^{22}\ \mathrm{kg}\), \(R_{\mathrm{Föld-Hold}}=384\ 000\ \mathrm{km}\), \(\displaystyle \gamma=6,67\cdot 10^{-11}\ \mathrm{\frac {\ m^3}{\ s^2\cdot kg}}.\bigg)\)
a) Becsülje meg, hogy mekkora utat tesz meg Nap körüli pályáján a Föld, miközben a Hold egyszer megkerüli?
$s=70\cdot 10^6\ \mathrm{km}$
Adatok:
\(M_{\mathrm{Föld}}=6\cdot 10^{24}\ \mathrm{kg}\)
\(R_{\mathrm{Nap-Föld}}=150\cdot 10^6\ \mathrm{km}\)
\(M_{\mathrm{Nap}}=2\cdot 10^{30}\ \mathrm{kg}\)
\(M_{\mathrm{Hold}}=7,4\cdot 10^{22}\ \mathrm{kg}\)
\(R_{\mathrm{Föld-Hold}}=384\ 000\ \mathrm{km}\)
\(\displaystyle \gamma=6,67\cdot 10^{-11}\ \mathrm{\frac {\ m^3}{\ s^2\cdot kg}}\)
a) A Föld által egy holdkeringés alatt megtett távolság meghatározása:
2 + 2 pont
\[s=\frac {2\cdot R_{\mathrm{Nap-Föld}}\cdot \pi}{365\ \mathrm{nap}}\cdot 27,3\ \mathrm{nap}\]
\[s=70\cdot 10^6\ \mathrm{km}\]
(Szintén helyesnek kell elfogadni, ha a vizsgázó a Hold keringési idejét 28 napnak vagy 29,5 napnak veszi. Utóbbi esetben $76\cdot 106\ \mathrm{km}$ a végeredmény.)
b) Rajzolja le hozzávetőlegesen a Hold pályáját a Nap körül!
Még szép, hogy elfogadható a Föld Nap körüli pályája körnek rajzolva, hiszen a pálya nagytengelye csupán kb. 1%-kal tér el a kistengelyétől, úgyhogy a legprecízebben lerajzolt földpálya (ellipszis) és egy kör szabad szemmel megkülönböztethetetlenek. Szabad kézzel pedig lerajzolni egy körtől 1%-ban eltérő ellipszist, egyenesen lehetetlen.
Érdekes, hogy a javítókulcs a Föld Nap körüli pályája esetén foglalkozik a körtől eltérő ellipszis alakkal, míg a Hold Föld körüli pályájával kapcsolatban egyetlen távolságot ad meg (mintha az kör lenne), pedig a Hold Föld körüli ellipszisének nagytengelye közel 12%-kal nagyobb, mint a kistengelye.
b) Megfelelő ábra készítése:
2 pont
(bontható)
(A Hold pályagörbéje egy „ellipszisre ültetett” enyhén hullámos vonal. Az ellipszis egyik fókuszpontjában a Nap van. Ellipszis helyett egy Nap középpontú kör is elfogadható. Nem tekinthető hibának, ha a görbe a rajzon hurkolt.)
c) Tegyük fel, hogy éppen napfogyatkozás van. Mekkora gravitációs erővel vonzza ekkor a Föld a Holdat, illetve a Nap a Holdat? Melyik a nagyobb?
$F_{\mathrm{Nap-Hold}}=4,4\cdot 10^{20}\ \mathrm{N}$
$F_{\mathrm{Föld-Hold}}=2\cdot 10^{20}\ \mathrm{N}$
A Nap fejt ki nagyobb vonzóerőt a Holdra.
c) A napfogyatkozás geometriai helyzetének értelmezése:
2 pont
(Vagy ábra mutatja, hogy a Hold a Nap–Föld szakaszon van, vagy a későbbi számításból, vagy szövegből derül ki a helyes értelmezés.)
A Nap és a Hold között ébredő gravitációs erő kiszámítása:
1 + 1 pont
\[F_{\mathrm{Nap-Hold}}=\gamma\frac {M_{\mathrm{Nap}}\cdot M_{\mathrm{Hold}}}{R_{\mathrm{\mathrm{Nap-Hold}}}^2}\]
\[F_{\mathrm{\mathrm{Nap-Hold}}}=4,4\cdot 10^{20}\ \mathrm{N}\]
(A Nap–Hold távolság gyakorlatilag megegyezik a Nap–Föld távolsággal, nem tekintendő hibának, ha valaki egyszerűen \(150\cdot 10^9\ \mathrm{m}\)-rel számol.)
A Föld és a Hold között ébredő gravitációs erő kiszámítása:
1 pont
\[F_{\mathrm{Föld-Hold}}=\gamma\frac {M_{\mathrm{Föld}}\cdot M_{\mathrm{Hold}}}{R_{\mathrm{Föld-Hold}}^2}\]
\[F_{\mathrm{Föld-Hold}}=2\cdot 10^{20}\ \mathrm{N}\]
A két érték összehasonlítása:
1 pont
A Nap fejt ki nagyobb vonzóerőt a Holdra.
Összesen: 12 pont