a)  Hány \(\mathrm{kg}\)-ot mutat a mérleg, amikor a lift áll?

$75\ \mathrm{kg}$

A mérlegeket arra készítik, hogy nyugalmi helyzetben a rajtuk lévő test tömegét írják ki, így az ebben az esetben \(75\)-öt fog mutatni.

Nyugalmi helyzetben a mérlegen lévő emberre két erő hat: az \(m\cdot g\) nehézségi erő és egy \(F_{ny}\) nyomóerő, amit a mérleg fejt ki felfelé az emberre (a cipőtalpára). Ennek az \(F_{ny}\) nyomóerőnek az ellenereje az ember \(S\) súlya, amivel az ember nyomja lefelé az alátámasztását, a mérleget:

Mivel nyugalomban az ember nem gyorsul, ezért a rá ható erők eredőjének nullának kell lennie. Mivel az emberre két, ellentétes irányú erő hat, ezek eredője úgy lehet nulla, hogy azonos nagyságúak. Tehát az embert nyomó nyomóerő \(m\cdot g\) nagyságú. Az \(F_{ny}\) nyomóerő és az \(S\) súly pedig amiatt egyenlők, mert ők erő-ellenerő párt alkotnak, és azok (Newton III. törvénye szerint) mindig azonos nagyságúak. Tehát az ábrán szereplő 3 erő mindegyike \(m\cdot g\) nagyságú. A mérleg pedig erőt mér (érzékel), és úgy van kalibrálva, hogy azt feltételezi, nyugalmi helzetben van rátéve a mérendő test, emiatt a ráhelyezett test a mérleget a nehézségi erejének megfelelő, azaz \(m\cdot g\) nagyságú erővel nyomja, ezért aztán a mérleg "agya" a lemért erőt elosztja a \(g\) nehézségi gyorsulással, és az eredményt (az \(m\) tömeget) írja ki.

b)  Hány \(\mathrm{kg}\)-ot mutat a mérleg, amikor Dogg egyenletesen halad felfelé a lifttel?

$75\ \mathrm{kg}$

Egyenesvonalú egyenletes mozgás során a test sebessége változatlan, emiatt ugyanúgy nincs gyorsulás, mint nyugalmi helyzetben. Ezért az emberre ható erők eredője ekkor is nulla kell legyen, tehát az emberre felfelé ható \(F_{ny}\) nyomóerő most is \(m\cdot g\) nagyságú, Newton III. törvénye miatt pedig ennek az \(F_{ny}\) nyomóerőnek az erő-ellenerő párja, az \(S\) súly is \(m\cdot g\) nagyságú. Tehát a mérleg most is \(75\ \mathrm{kg}\)-ot mutat.

c)  Hány \(\mathrm{kg}\)-ot mutat a mérleg, amikor Dogg egy új típusú liftben az utazósebességgel egyenletesen halad lefelé?

$75\ \mathrm{kg}$

Ha a lift egyenletesen halad, akkor azt akár felfelé teszi, akár lefelé, Dogg gyorsulása biztosan nulla, így a rá ható erők eredőjének nullának kell lennie. Vagyis a rá ható \(F_{ny}\) nyomóerő \(mg\) nagyságú, emiatt a mérleget nyomó súlyerő is \(mg\) nagyságú.

d) Hány $\mathrm{kg}$-ot mutat a mérleg Snoop alatt, amikor a régi lift álló helyzetből felfelé elindulás során épp a maximális gyorsulással rendelkezik?

$78,75\ \mathrm{kg}$

Ha álló helyzeeetből felfelé indulunk, akkor a sebességváltozás felfelé van, azaz a gyorsulás iránya is felfelé van. A

\[\Sigma F=m\cdot a\]

alapján ez csak úgy lehetséges, ha a testre ható erők eredője felfelé irányul. Snoop Dogg-ra most is két erő hat: az \(m\cdot g\) nehézségi erő lefelé, és az \(F_{ny}\) nyomóerő, amit a mérleg fejt ki rá felfelé. Ezek ketten csak úgy hozhatnak létre felfelé irányuló eredő erőt, ha a felfelé mutató \(F_{ny}\) nyomóerő nagyobb, mint a lefelé mutató \(m\cdot g\). Ekkor viszont az \(F_{ny}\) erő-ellenerő párját jelentő \(S\) súly is nagyobb lesz, mint \(m\cdot g\).

Nézzük konkrétan mindezt! Válasszunk függőlegesen egy pozitív irányt, mondjuk legyen felfelé, és írjuk be az emberre ható erőket és az ember gyorsulását, figyelmebe véve az irányaikat az előjelek segítségével!

\[\Sigma F=m\cdot a\]

\[F_{ny}+m\cdot g=m\cdot a\]

Az \(m\cdot g\) lefelé irányát úgy vesszük figyelembe, hogy a \(g\) nehézgési gyorsulás (aminek az iránya lefelé mutat) negatív értékű.

\[F_{ny}+75\cdot (-10)=75\cdot 0,5\]

\[F_{ny}-750=37,5\]

\[F_{ny}=787,5\ \mathrm{N}\]

A mérleg erről az erőről azt gondolja, hogy ez a rajta lévő tárgyra ható \(m\cdot g\) nagyságú súly, ezért a tömeg megkapásához elosztja a \(g\) nehézségi gyorsulással:

\[m=\frac{787,5}{10}\]

\[m=78,75\ \mathrm{kg}\]

Természetesen a művész úr tömege nem változott, csak a súlya lett nagyobb. Csak a mérleg a lemért súlyból nyugalmi esetet feltételezve kalkulálja a tömeget, ezért hibás eredményre jut, mivel nincs nyugalmi helyzet.

e) Hány $\mathrm{kg}$-ot mutat a mérleg Snoop alatt, amikor a régi lift a felfelé haladás végén a megálláshoz lassít, méghozzá épp a maximális gyorsulással?

\(71,25\ \mathrm{kg}\)-ot

Ha a lift felfelé menetben lassít, csökkenti a sebességét, akkor a gyorsulása lefelé irányuló, azaz (megint felfelé véve a pozitív irányt) régi liftnél maximálisan:

\[a=-0,5\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]

Az emberre most is hat az \(mg\) nehézségi erő, így a dinamikai egyenletet felírva a függőleges mozgására:

\[\Sigma F_{\mathrm{y}}=m\cdot a_{\mathrm{y}}\]

\[m\cdot g+F_{\mathrm{ny}}=m\cdot a_{\mathrm{y}}\]

Az adatokat beírva, ügyelve arra, hogy a \(g\) nehézségi gyorsulás is és az \(a_{\mathrm{y}}\) gyorsulás is lefelé irányul, így a pozitív iránnyal ellentétesek, tehát negatív előjelűek:

\[75\cdot (-10)+F_{\mathrm{ny}}=75\cdot (-0,5)\]

\[-750+F_{\mathrm{ny}}=-37,5\]

\[F_{\mathrm{ny}}=712,5\ \mathrm{N}\]

Ekkora erőt \(71,25\ \mathrm{kg}\) tömegű test rárakásakor mutat a mérleg.

f) Hány $\mathrm{kg}$-ot mutat a mérleg Snoop alatt, amikor az új lift az álló helyzetből lefelé elindulás során épp a maximális gyorsulással rendelkezik?

$69\ \mathrm{kg}$

Ha a lift álló helyzetből lefelé indul el, akkor a sebességváltozás vektora lefelé mutat. Ez azt jelenti, hogy a gyorsulás is lefelé mutat, ami csak úgy lehetséges, ha az emberre ható erők eredője lefelé irányul. Snoop Dogg-ra most is két erő hat: az \(m\cdot g\) nehézségi erő lefelé, és az \(F_{ny}\) nyomóerő, amit a mérleg fejt ki rá felfelé. Ezek ketten csak úgy hozhatnak létre lefelé irányuló eredő erőt, ha a felfelé mutató \(F_{ny}\) nyomóerő kisebb, mint a lefelé mutató \(m\cdot g\). Ekkor viszont az \(F_{ny}\) erő-ellenerő párját jelentő \(S\) súly is kisebb lesz, mint \(m\cdot g\).

Nézzük konkrétan mindezt! Válasszunk függőlegesen egy pozitív irányt, mondjuk legyen felfelé, és írjuk be a dinamikai alapegyenletbe az emberre ható erőket és az ember gyorsulását, figyelve arra, hogy minden ismertet az irányának megfelelően!

\[\Sigma F_{\mathrm{y}}=m\cdot a_{\mathrm{y}}\]

\[F_{ny}+m\cdot g=m\cdot a_{\mathrm{y}}\]

Az \(m\cdot g\) lefelé irányát úgy vesszük figyelembe, hogy a \(g\) nehézségi gyorsulás (aminek az iránya lefelé mutat) negatív értékű. Mivel most a gyorsulásunk lefelé van, ezért annak az előjele negatív lesz. És mivel most új liftről van szó, az értéke most \(\displaystyle 0,8\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\).

\[F_{ny}+75\cdot (-10)=75\cdot (-0,8)\]

\[F_{ny}-750=-60\]

\[F_{ny}=690\ \mathrm{N}\]

A mérleg erről az erőről azt gondolja, hogy ez a rajta lévő tárgyra ható (\(m\cdot g\) nagyságú) súlyerő, ezért a tömeg megkapásához az érzékelt erőzt elosztja a \(g\) nehézségi gyorsulással:

\[m=\frac{690}{10}\]

\[m=69\ \mathrm{kg}\]

g) Hány $\mathrm{kg}$-ot mutat a mérleg Snoop alatt, amikor a régi lift a lefelé haladás végén a megálláshoz lassít, méghozzá épp a maximális gyorsulással?

$78,75\ \mathrm{kg}$

Ha lefelé menetben lassít a lift, akkor a \(v_1\) kezdeti sebességvektor lefelé mutat és nagy, a \(v_2\) végső sebességvektor pedig lefelé mutat de már kisebb. Ez milyen irányú sebességváltozást jelent? A változást mindig úgy kapjuk, hogy a végsőből kivonjuk a kezdetit:

\[\Delta v=v_2-v_1\]

A kivonást úgy is felfoghatjuk, hogy hozzáadjuk a \((-1)\)-szeresét:

\[\Delta v=v_2+(-v_1)\]

Azt kaptuk, hogy a sebességváltozás felfelé mutat. Emiatt az ember gyorsulása is felfelé mutat, így innentől már ez a feladat teljesen azonos a 4. kérdéssel.

h)  Mekkora gyorsulással kellene a liftnek álló helyzetből felfelé elindulnia, hogy a rajta álló sztár \(120\ \mathrm{kg}\)-ot lásson a kijelzőn? Hányszorosa ez a megengedettnek az új liftekben?

\(\displaystyle a=6\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\)-tel, ami 7,5-szöröse az új liftekben megengedettnek, szóval kellemetlen érzés lenne.

i)  Hogyan kellene mozognia a liftnek, hogy a mérleg Snoop Dogg alatt \(0\ \mathrm{kg}\)-ot mutasson?

Erre több lehetőség is van:

• a liftkabint tartó acélsodrony elszakad, és zuhan az egész
• álló helyzetből elindul lefelé a lift, pont \(\displaystyle g=10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\) gyorsulással
• a felfelé haladó lift olyan ütemben lassít, hogy a gyorsulása pont \(\displaystyle g=10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\) nagyságú

Ha a mérleg nullát mutat, az azt jelenti, hogy az ember és a mérleg között nincs nyomóerő (megszűnik). Ekkor az emberre függőleges irányban felírt mozgásegyenlet egyszerűbb lesz:

{[\Sigma F_{\masthrm{y}}=m\cdot a_{\mathrm{y}}\]

\[m\cdot g=m\cdot a_{\mathrm{y}}\]

\[a_{\mathrm{y}}=g\]

vagyis az embernek pont a nehézségi gyorsulással azonos gyorsulással kell mozognia, tehát a gyorsulása lefelé kell irányuljon, és pont \(\displaystyle 10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\) nagyságú kell legyen. Ezt az esetet úgy hívjuk, hogy szabadesés; ilyenkor a testekre csak a nehézségi erő hat, és ennek hatására a gyorsuklásuk a nehézségi gyorsulással azonos.

)  Mit mutatna a mérleg, ha a lift álló helyzetből lefelé indulna el, és olyan ütemben növelné a sebességének nagyságát egyenletesen, hogy másfél másodperc alatt érné el a jelenlegi (2021.) leggyorsabb liftek utazósebességét, ami \(\displaystyle 20\ \mathrm{\frac{m}{s}}\)?

\(0\ \mathrm{kg}\)-ot.

Ha másfél másodperc alatt gyorsul fel nulláról \(\displaystyle v=20\ \mathrm{\frac{m}{s}}\) sebességre, akkor a gyorsulásának nagysága:

\[a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\]

\[a=\frac{20\ \mathrm{\frac{m}{s}}}{1,5\ \mathrm{s}}\]

\[a=13,3\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]

Ekkora lefelé irányuló gyorsulást a nehézségi erő nem tzud okozni, hiszen ő csak \(\displaystyle 10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\)-ra képes. Vagyis a nehézségi erőt kellee, hogy segítse egy további, lefelé ható erő, de itt nincs ilyen. Ezért az történne ilyenkor, hogy a mérleg lefelé "kilő" az ember alól, és mivel nem nehezedik rá senki, így nullát mutatna. (A valóságban negatív értéket mutatna, hiszen a mérleg lapjának is van tömege, aminek van tehetetléensége, így amikor a mérleg lindul lefelé, a mérlegnek kellene a "nehézségi erőt kisegítő" gyorsítóerőt kifejtenie a lapjára, hogy lefelé ezt a \(g\)-nél nagyobb gyorsulást produkálja. Namost ha a mérleg lefelé irányuló erőt fejt ki a lapra, akkor a lap felfelé irányuló erőt fejt ki a mérleg szenzorjára, ezt mutatná egy kis negatív értéknek a mérleg kijelzője.)