A strandok, aquaparkok nélkülözhetetlen kelléke a vizes csúszda. A folyamatosan lecsurgatott víz a lecsúszó ember és a csúszda közötti súrlódást jelentősen csökkenti. Mi most az egyszerűség kedvéért úgy fogjuk venni, hogy a súrlódás elhanyagolható.
a) Mekkora kényszererő (felületre merőleges nyomóerő) ébred, ha egy \(50\ \mathrm{kg}\)-os ember lecsúszik a \(45{}^\circ\)-os hajlásszögű vizes csúszdán?
\(K=353,5\ \mathrm{N}\)
Készítsünk ábrát, és rajzoljuk be azt az erő, amit biztosan ismerünk, a nehézségi erőt:
Mivel a lecsúszó test (ember) mozgása végig a lejtő síkjában fog zajlani, ezért a mozgás leírása egyszerűbb, ha nem a szokásos \(x\thinspace \unicode{x2013}\thinspace y\) vízszintes-függőleges koordinátarendszerben írjuk le, hanem egy olyan derékszögű koordinátarendszerben, aminek egyik tengelye a lejtővel párhuzamos irányú, a másik tengelye pedig a lejtőre merőleges. Bontsuk is fel ilyen irányú összetevőkre az \(mg\) nehézségi erőt!
A nehézségi erő és a komponensei közötti szög szintén \(45^\circ\)-os, vagyis egy nevezetes derékszögű háromszögről van szó, amiről Pithagorasz-tétellel meg tudjuk mondani az oldalak arányait:
Ez alapján a nehézségi erő komponensei:
\[mg_{\parallel}=\frac{mg}{\sqrt{2}}\]
\[mg_{\bot}=\frac{mg}{\sqrt{2}}\]
Mivel a lecsúszó test mindvégig a lejtő síkjában halad, ezért a lejtőre merőleges tengely mentén nem mozdul el, amiből következően az \(a_{\bot}\) lejtőre merőleges irányú gyorsulása nulla. De a nehézségi erőnek van \(mg_{\bot}\) lejtőre merőleges irányú komponense, úgyhogy a lejtő akkora \(K\) lejtőre merőleges kényszererőt (nyomóerőt, tartóerőt) kell kifejtsen, hogy ezt kinullázza, kioltsa. Ez alapján a \(K\) kényszererő:
\[K=mg_{\bot}\]
\[K=\frac{mg}{\sqrt{2}}\]
SI-egységben beírva az adatokat:
\[K=\frac{50\cdot 10}{1,41}\]
\[K=353,5\ \mathrm{N}\]
b) Mekkora kényszererő (felületre merőleges nyomóerő) ébred, ha egy $70\ \mathrm{kg}$-os ember lecsúszik a vízszintessel \(60{}^\circ\)-os szüget bezáró vizes csúszdán?
\(K=350\ \mathrm{N}\)
Készítsünk ábrát, és rajzoljuk be azt az erő, amit biztosan ismerünk, a nehézségi erőt:
Mivel a lecsúszó test (ember) mozgása végig a lejtő síkjában fog zajlani, ezért a mozgás leírása egyszerűbb, ha nem a szokásos \(x\thinspace \unicode{x2013}\thinspace y\) vízszintes-függőleges koordinátarendszerben írjuk le, hanem egy olyan derékszögű koordinátarendszerben, aminek egyik tengelye a lejtővel párhuzamos irányú, a másik tengelye pedig a lejtőre merőleges. Bontsuk is fel ilyen irányú összetevőkre az \(mg\) nehézségi erőt!
A nehézségi erő és a komponensei közötti szög szintén \(60^\circ\)-os, vagyis egy nevezetes derékszögű háromszögről van szó, amiről Pithagorasz-tétellel meg tudjuk mondani az oldalak arányait:
Ez alapján a nehézségi erő komponensei:
\[mg_{\parallel}=\frac{\sqrt{3}}{2}mg\]
\[mg_{\bot}=\frac{mg}{2}\]
Mivel a lecsúszó test mindvégig a lejtő síkjában halad, ezért a lejtőre merőleges tengely mentén nem mozdul el, amiből következően az \(a_{\bot}\) lejtőre merőleges irányú gyorsulása nulla. De a nehézségi erőnek van \(mg_{\bot}\) lejtőre merőleges irányú komponense, úgyhogy a lejtő akkora \(K\) lejtőre merőleges kényszererőt (nyomóerőt, tartóerőt) kell kifejtsen, hogy ezt kinullázza, kioltsa. Ez alapján a \(K\) kényszererő:
\[K=mg_{\bot}\]
\[K=\frac{mg}{2}\]
SI-egységben beírva az adatokat:
\[K=\frac{70\cdot 10}{2}\]
\[K=350\ \mathrm{N}\]
