Egy \(100\ \mathrm{cm}\) hosszú rugalmas gumiszálat két, egymástól \(100\ \mathrm{cm}\) távolságban lévő oszlop között vízszintesen rögzítünk és a közepére egy \(m\ = 1\ \mathrm{kg}\) tömegű testet akasztunk az ábrán látható módon. A test úgy nyújtja meg a gumiszálat, hogy a szál belógása \(x=25\ \mathrm{cm}\). (A gumiszál maga súlytalannak tekinthető.)
Mekkora lenne a gumiszál megnyúlása, ha az \(1\ \mathrm{kg}\) tömeget függőleges helyzetben akasztanánk rá? \(\displaystyle \left(g = 10\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{\ s^2}}\right)\)
\(\mathit{\Delta} l_2=10,6\ \mathrm{cm}\)
Adatok:
\(x=25\ \mathrm{cm}\)
\(l=100\ \mathrm{cm}\)
\(m=1\ \mathrm{kg}\)
\(\displaystyle g=10\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}\)
A gumiszál megnyúlásának kiszámítása az első esetben:
2 pont
(bontható)
A gumiszál teljes hosszváltozása kiszámítható pl. a Pitagorasz‑tétel segítségével. Az ábra jelöléseivel:
\[b=\sqrt{a^2+x^2}\] \[b=55,9\ \mathrm{cm}\]
(1 pont)
\[\mathit{\Delta} l=2b-l\] \[\mathit{\Delta} l=11,8\ \mathrm{cm}\]
(1 pont)
Az erőegyensúly megállapítása és a gumiszálban ébredő erő kiszámítása az első esetben:
6 pont
(bontható)
A két szárban ébredő erő és a testre ható gravitációs erő \((mg=G)\) tart egyensúlyt (2 pont).
(Az erőegyensúly megállapítása szöveg nélkül, csak vektorábrával is elfogadható. A közölt rajzzal egyenértékű a vektorfelbontás alapján megfogalmazott egyensúly.)
Az egyik szárban ébredő \(F\) erő függőleges vetülete \(\displaystyle \frac{G}{2}\) nagyságú (1 pont).
Az erőháromszög és a gumiszál által kifeszített háromszög hasonló
(1 pont)
ezért
\[\frac{\ F\ }{\displaystyle \frac{G}{2}}=\frac{b}{x}\]
(1 pont)
amiből\[F=11,2\ \mathrm{N}\]
(1 pont)
$\bigg($A hasonlósági számítás szögjelöléssel, illetve szögfüggvényeken keresztül is megadható. A gumiszál által kifeszített háromszögből \(\mathrm{tg}\thinspace \alpha = 2\), amiből \(\alpha= 63,4^\circ\), a vektorháromszögben pedig \(\displaystyle F=\frac{G}{2\cdot \cos{\alpha}}.\bigg)\)
A direkciós erő meghatározása:
2 pont
(bontható)
Az egész gumiszálban \(F\) nagyságú erő ébred, ezért \(F = D\cdot \mathit{\Delta} l\) (1 pont).
(Ha csak az egyik szár megnyúlását tekintjük az \(F\) erő hatására, akkor a fél gumiszálnak kétszer akkora a direkciós ereje, mint az egésznek, ezért a rugalmas megnyúlást az
\[F=2D\cdot \frac{\mathit{\Delta} l}{2}\]
egyenlőség írja le.)
\[D=\frac{F}{\mathit{\Delta} l}\] \[D=95\ \mathrm{\frac{N}{m}}\]
(1 pont)
A függőleges gumiszál megnyúlásának kiszámítása:
2 pont
(bontható)
A teljes gumiszál \(\mathit{\Delta} l_2\) megnyúlása \(G\) erő hatására történik, ezért
\[\mathit{\Delta} l_2=\frac {G}{D}\] \[\mathit{\Delta} l_2=10,6\ \mathrm{cm}\]
(1 + 1 pont)
Összesen: 12 pont