Álló helyzetből elengedett pontszerű test csúszik le egy $1\ \mathrm{m}$ magas, 30 fokos hajlásszögű lejtőn. Ezután egy ismeretlen magasságú, 60 fokos hajlásszögű lejtőn engedjük le a testet. Azt tapasztaljuk, hogy a lecsúszás ideje a két esetben azonos volt. (A súrlódás elhanyagolható.)
\(\displaystyle \left(g=10\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}\right)\)
a) Mekkora a 60 fokos hajlásszögű lejtő hossza?
\(s_2\approx 3,5\ \mathrm{m}\)
Adatok:
\(h_1 = 1\ \mathrm{m}\)
\(\alpha_1 = 30^\circ\)
\(\alpha_2 = 60^\circ\)
a) Az egyenletesen gyorsuló mozgás összefüggéseinek alkalmazása a lecsúszás idejének meghatározására:
1 + 1 + 1 + 1 pont
\[t=\sqrt{\frac{2\cdot s_1}{a}}\]
\[s_1=\frac{h_1}{\sin{\alpha_1}}\]
\[a_1=g\cdot \sin{\alpha_1}\]
\[t=\sqrt{0,8}\ \mathrm{s}\]
(Összefüggések és számítás.)
A második lejtő hosszának meghatározása:
3 pont
(bontható)
\[s_2=\frac{g\cdot \sin{\alpha_2}}{2}\cdot t^2\]
\[s_2=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}\] \[s_2\approx 3,5\ \mathrm{m}\]
b) Mekkora sebességgel érkezik le a test a lejtők aljára az első és a második esetben?
\(v_1=4,47\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{s}}\)
\(v_2=7,75\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{s}}\)
b) Az energiamegmaradás felírása a test végsebességére:
2 pont
\[\frac{1}{2} m\cdot v^2= m\cdot g\cdot h\]
\[v=\sqrt{2\cdot g\cdot h}\]
A végsebesség meghatározása az első esetben:
1 pont
\[v_1=\sqrt{20}\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
\[v_1=4,47\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{s}}\]
A végsebesség meghatározása a második esetben:
2 pont
(bontható)
\[v_2=\sqrt{2\cdot g\cdot s_2\cdot \sin{\alpha_2}}\]
\[v_2=\sqrt{60}\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
\[v_2=7,75\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{s}}\]
Összesen: 12 pont