Egy vékony falú \(V=200\ \mathrm{dm^3}\) térfogatú tartályba \(T_0=-123\ \mathrm{^\circ C}\) hőmérsékletű héliumgázt töltünk. A tartály oldalán biztonsági szelep található. Ez lényegében egy \(A=5\ \mathrm{cm^2}\) felületű lukacska, amelyre egy rugó zárólapot szorít. A rugóban ébredő erő \(F = 25\ \mathrm{N}\). A gáz nyomása kezdetben \(p_0=10\ \mathrm{\displaystyle\frac{N}{\ cm^2}}\). A tartályban lévő gáz lassan felmelegszik a környezet \(T_1=27\ \mathrm{^\circ C}\)-os hőmérsékletére. $\left(R=8300\ \mathrm{\displaystyle \frac{J}{K\cdot kmol}}\right)$
a) Mekkora a tartályba zárt héliumgáz tömege kezdetben?
\(m=64\ \mathrm{g}\)
Adatok:
\(V=200\ \mathrm{dm^3}\)
\(T_0=-123\ \mathrm{^\circ C}\)
\(T_1=27\ \mathrm{^\circ C}\)
\(A=5\ \mathrm{cm^2}\)
\(F = 25\ \mathrm{N}\)
\(p_0=10\ \mathrm{\displaystyle\frac{N}{\ cm^2}}\)
\(R=8300\ \mathrm{\displaystyle\frac{J}{K\cdot kmol}}\)
\(M=4\ \mathrm{\displaystyle\frac{kg}{kmol}}\)
a) A tartályba töltött héliumgáz tömegének felírása és kiszámítása:
3 pont
(bontható)
\[p\cdot V=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T\]
\[m=\frac{p\cdot V\cdot M}{R\cdot T}\]
amiből
\[m=64\ \mathrm{g}\]
(A gáztörvény felírása 1 pont, a megfelelő adatok behelyettesítése 1 pont, a keresett tömeg kiszámítása 1 pont.)
b) Mennyi a gáz hőmérséklete, amikor kinyit a biztonsági szelep?
\(T'=-48\ \mathrm{^\circ C}\)
b) A biztonsági szelep kinyílásához szükséges nyomás felírása és kiszámítása:
3 pont
(bontható)
A szelep akkor nyílik ki, amikor a zárólapra belülről ható erő éppen meghaladja a külső légnyomásból származó erőnek és a rugóerőnek az összegét:
\[A\cdot p_{\mathrm{max}}=A\cdot p_0+F\]
(2 pont)
A tartályban lévő gáz nyomása ekkor:
\[p_{\mathrm{max}}=p_0+\frac{F}{A}\]
\[p_{\mathrm{max}}=15\ \mathrm{\displaystyle\frac{N}{\ cm^2}}\]
(1 pont)
A keresett hőmérséklet felírása és meghatározása:
3 pont
(bontható)
Mivel az állapotváltozás állandó térfogat mellett megy végbe, a Gay‑Lussac‑törvény alkalmazható rá:
\[\frac{p_0}{T_0}=\frac{p_{\mathrm{max}}}{T'}\]
(1 pont)
amiből
\[T'=\frac{p_{\mathrm{max}}\cdot T_0}{p_0}\]
\[T'=225\ \mathrm{K}\]
azaz
\[T'=-48\ \mathrm{^\circ C}\]
(rendezés és számítás, 1 + 1 pont)
(A keresett hőmérsékletet nem szükséges Celsius fokra átváltani, amennyiben a Kelvinben kiszámított hőmérséklet helyes, a teljes pont jár.)
c) Mennyi a tartályban lévő héliumgáz tömege, amikor a hőmérséklet eléri a környezet hőmérsékletét?
\(m_1=48\ \mathrm{g}\)
c) Annak felismerése, hogy a gáz további melegedése már nem növeli a nyomást, mivel a biztonsági szelepen át folyamatosan távozik a gáz egy része:
2 pont
Amennyiben a vizsgázó ezt a felismerést nem írja le, de valahol képlettel kifejezi (pl. \(p_{\mathrm{végső}}=p_{\mathrm{max}}\) vagy a későbbi számolásban \(p_{\mathrm{max}}\) szerepeltetése végső nyomásként), a két pont jár.
A tartályban maradó héliumgáz tömegének felírása és kiszámítása:
1 + 1 pont
Mivel a tartályban lévő gáz végső nyomása \(p_{\mathrm{max}}\), ezért a felmelegedés végén
\[p_{\mathrm{max}}\cdot V=\frac{\ m_1}{M\ }\cdot R\cdot T_1\]
\[m_1=48\ \mathrm{g}\]
Amennyiben a vizsgázó a bezárt gáz végső nyomásának a külső nyomást veszi (mondván, hogy a szelep „kinyitott”), a c) kérdésre legfeljebb két pont adható.
Összesen: 13 pont