Egy tőlünk két méter távolságra lévő, pontszerű fényforrást nézünk, mely egyforma erősséggel világít minden irányba. A fényforrás teljesítménye \(10\ \mathrm{W}\), a kisugárzott fény hullámhossza \(\lambda = 450\ \mathrm{nm}\).
$\left(c=3\cdot {10^8}\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{s}},\ h=6,62\cdot {10^{-34}}\ \mathrm{Js}\right)$
Körülbelül hány foton halad át a pupillánkon egy másodperc alatt, ha pupillánk átmérője a megfigyelés idején \(4\ \mathrm{mm}\)?
\(N'=5,68\cdot {10^{12}}\ \mathrm{\displaystyle\frac{1}{s}}\)
Adatok:
\(P=10\ \mathrm{W}\)
\(\lambda = 450\ \mathrm{nm}\).
\(d=4\ \mathrm{mm}\)
\(R=2\ \mathrm{m}\)
\(c=3\cdot {10^8}\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{s}}\)
\(h=6,62\cdot {10^{-34}}\ \mathrm{Js}\)
A fényforrás által egy másodperc alatt kibocsátott fotonok számának meghatározása:
6 pont
(bontható)
A fényforrás teljesítménye egyenlő az egy másodperc alatt kibocsátott fotonok számának és az egy foton energiájának szorzatával:
\[P=N\cdot E\]
(2 pont)
Egy foton energiája:
\[E=\frac{h\cdot c}{\lambda}\]
\[E=4,4\cdot {10^{-19}}\ \mathrm{J}\]
(felírás és számítás, 1 + 1 pont)
Amiből a másodpercenként kibocsátott fotonok száma:
\[N=\frac{P}{E}\] \[N=2,27\cdot {10^{19}}\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]
(felírás és számítás, 1 + 1 pont)
A fotonenergia kiszámítása nem feltétlenül szükséges. Amennyiben a vizsgázó a foton energiáját paraméteresen írja be az \(N=\displaystyle\frac{P}{E}\) képletbe és a végeredmény helyes, a teljes pontszám jár. Amennyiben azonban a foton energiájára vonatkozó képlet nem szerepel valahol, helyes válasz esetén is legfeljebb 4 pont jár összesen erre a feladatrészre.
A pupillánkon egy másodperc alatt áthaladó fotonok számának meghatározása:
6 pont
(bontható)
A pupillánkon egy másodperc alatt áthaladó fotonok száma a teljes fotonszámnak azon hányada, amelyik a pupillánk irányába indul el a fényforrásból, azaz a teljes fotonszám, illetve a pupillánk területének és a teljes $2\ \mathrm{m}$ sugarú gömb felületének hányadosa:
\[N'=N\cdot \frac{A_{\mathrm{pupilla}}}{A_{\mathrm{gömb}}}\]
(3 pont)
A pupilla területe:
\[A_{\mathrm{pupilla}}=\left(\frac{d}{2}\right)^2\cdot \pi\]
\[A_{\mathrm{pupilla}}=12,6\cdot {10^{-6}}\ \mathrm{m^2}\]
(1 pont)
A gömbfelület területe:
\[A_{\mathrm{gömb}}=4\cdot R^2\cdot \pi\]
\[A_{\mathrm{gömb}}=50,3\ \mathrm{m^2}\]
(1 pont)
A keresett fotonszám tehát:
\[N'=5,68\cdot {10^{12}}\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]
(1 pont)
(A felületek számszerű kiszámítása nem szükséges, amennyiben a vizsgázó paraméteresen számol és az eredmény helyes, a teljes pontszám jár.)
II. megoldás:
A feladat megoldható fordított sorrendben is, úgy hogy a vizsgázó a felületek arányával először a pupillán áthaladó fény teljesítményét számolja ki, majd pedig az ezen teljesítményhez tartozó fotonszámot.
Ebben az esetben:
\[P'=P\cdot \frac{A_{\mathrm{pupilla}}}{A_{\mathrm{gömb}}}\]
\[P'=2,5\cdot {10^{-6}}\ \mathrm{W}\]
(összesen 6 pont, az előzőeknek megfelelően bontható)
és
\[N'=\frac{P^{'}}{E}\]
\[N'=5,68\cdot {10^{12}}\ \mathrm{\frac{1}{s}}\]
(összesen 6 pont, az előzőeknek megfelelően bontható)
Összesen: 12 pont