Két kiskocsi az ábrán látható módon összeütközik úgy, hogy a gyorsabb kocsi utoléri a lassabbat. A gyorsabb kocsi elején egy összenyomásra ideálisan viselkedő rugó található, így a kocsik ütközése tökéletesen rugalmas. (A súrlódás elhanyagolható.)
(Adatok: \(m_1=0,1\ \mathrm{kg}\), \(v_1=0,4\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{s}}\), \(m_2=0,2\ \mathrm{kg}\), \(v_2=0,1\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{s}}\); a rugó nyújtatlan hossza \(l_0=3\ \mathrm{cm}\), \(D=60\ \mathrm{\displaystyle\frac{N}{m}}\). A rugó tömege elhanyagolható.)
a) Az ütközés folyamán egy pillanatra a két kocsi sebessége azonos lesz. Mekkora ez a sebesség?
\(v_{\mathrm{k}}=0,2\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{s}}\)
Adatok:
\(m_1=0,1\ \mathrm{kg}\)
\(v_1=0,4\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{s}}\)
\(m_2=0,2\ \mathrm{kg}\)
\(v_2=0,1\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{s}}\)
a rugó nyújtatlan hossza \(l_0=3\ \mathrm{cm}\)
\(D=60\ \mathrm{\displaystyle\frac{N}{m}}\)
a) A kocsik közös sebességének felírása és kiszámítása:
3 pont
(bontható)
A lendületmegmaradás törvényét a kocsik sebességére alkalmazva a közös sebességre:
\[m_1\cdot v_1 + m_2\cdot v_2=(m_1+m_2)\cdot v_{\mathrm{k}}\]
$$\boldsymbol{\Rightarrow }$$
\[v_{\mathrm{k}}=0,2\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{s}}\]
adódik.
(képlet + számítás, 2 + 1 pont)
b) Mennyire közelíti meg egymást a két kiskocsi az ütközés folyamán abban a pillanatban, amikor a sebességük egyenlő?
$2\ \mathrm{cm}$‑re
b) Az együttmozgás pillanatában a rugóban tárolt energia felírása és kiszámítása:
4 pont
(bontható)
Az együttmozgás pillanatában a kocsik mozgási energiája kevesebb, mint ütközés előtt, a hiányzó energiát a rugó tárolja:
\[\mathit{\Delta} E=\left(\frac{1}{2} m_1\cdot v_1^2+\frac{1}{2}m_2\cdot v_2^2\right)-\frac{1}{2}(m_1+m_2)\cdot v_{\mathrm{k}}^2\]
\[\mathit{\Delta} E=\frac{1}{2}D\cdot x^2\]
\[\mathit{\Delta} E=0,003\ \mathrm{J}\]
(képlet + számítás, 2 + 2 pont)
Amennyiben a vizsgázó egyértelműen utal rá, hogy a rugó energiáját a mozgási energiák különbségeként lehet megkapni, de számításokat nem végez, 1 pont adandó.
Annak megadása, hogy a kocsik mennyire közelítik meg egymást a kérdéses pillanatban:
2 pont
(bontható)
A rugó energiájából a rugó összenyomódására
\[x=0,01\ \mathrm{m}=1\ \mathrm{cm}\]
adódik (1 pont).
$$l_0-x=2\ \mathrm{cm}$$
Tehát a két kiskocsi $2\ \mathrm{cm}$‑re közelíti meg egymást (1 pont).
c) Mekkora lesz a kiskocsik sebessége az ütközés után?
\(u_1=0\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{s}}\)
\(u_2=0,3\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{s}}\)
c) A kocsik ütközés utáni sebességének megadása:
3 pont
(bontható)
Mivel a rugalmas ütközés során a kocsik sebessége ugyanannyit változik a rugó szétlökődése folyamán, mint az összenyomódása folyamán (1 pont), ezért
\[u_1=v_1+2\cdot (v_{\mathrm{k}}-v_1)\]
\[u_1=0\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
(1 pont)
illetve
\[u_2=v_2+2\cdot (v_{\mathrm{k}}-v_2)\]
\[u_2=0,3\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
(1 pont)
Összesen: 12 pont