Az emberi szervezetbe bekerülő radioaktív izotópoknak (akár véletlenül bekerülő szennyezőanyagokról, akár az orvostudományban egyre gyakrabban alkalmazott enyhén radioaktív nyomjelző anyagokról van szó) a szervezetből való kiürülését gyakran hasonló "bomlástörvény" írja le, mint magát a radioaktív bomlást. Ilyenkor az adott anyag biológiai felezési idején azt az időt értjük, ami alatt a radioaktív anyag (illetve bomlástermékének) mennyisége az emberi testben a természetes anyagcsere-folyamatok hatására a felére csökken. Természetesen a biológiai kiürülés a radioaktív bomlástól függetlenül, azzal időben párhuzamosan zajlik, azaz a radioaktív atommagok egy része elhagyja a szervezetet, akár elbomlott, akár nem. Tegyük fel, hogy egy vizsgálat céljából egy emberbe bevitt izotópmennyiség aktivitása a vizsgálat kezdetekor \(A_0 = 10^4\ \mathrm{Bq}\). Az anyag radioaktív felezési ideje \(T_{1/2}=6\ \mathrm{óra}\), biológiai felezési ideje a páciensben pedig \(T_{\mathrm{biol}}=12\ \mathrm{óra}\).
a) Mennyi lesz a páciensben maradó izotópok aktivitása a vizsgálat kezdete után 12 órával?
\(A=1,25\cdot {10^3}\ \mathrm{Bq}\)
Adatok:
\(A_0=10^4\ \mathrm{Bq}\)
\(T_{1/2}=6\ \mathrm{óra}\)
\(T_{\mathrm{biol}}=12\ \mathrm{óra}\)
a) A páciensben maradó izotópok aktivitásának meghatározása:
6 pont
(bontható)
Mivel a 12 óra éppen a biológiai felezési idő, az izotópok fele kiürül a szervezetből (2 pont). A bentmaradó hányad a radioaktív bomlástörvény szerint bomlik. Mivel az adott időtartam a felezési idő kétszerese, az eredeti mennyiség negyede marad csak meg (2 pont). Így összességében az izotópoknak csak $1/8$‑a marad meg, tehát a keresett aktivitás
\[A=\frac{A_0}{8}\]
\[A=1,25\cdot {10^3}\ \mathrm{Bq}\]
(2 pont)
A választ nem feltétlenül szükséges szövegesen megfogalmazni; egy, a lényeget kifejező formula is elfogadható teljes értékű válaszként, pl.:
\[A=A_0\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\! 2}\]
\[A=A_0\cdot \frac{1}{8}\]
\[A=1,25\cdot {10^3}\ \mathrm{Bq}\]
b) Mennyi idő alatt csökkenne ugyanerre az értékre a páciensben lévő izotópok aktivitása, ha az izotóp nem ürülne ki a szervezetből, azaz nem volna biológiai felezési idő?
\(t=3T_{1/2}=18\ \mathrm{óra}\)
b) Az adott aktivitáscsökkenéshez szükséges idő meghatározása:
2 pont
(bontható)
Mivel
$$\frac{1}{8}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\! 3}$$
(1 pont)
pusztán a radioaktív bomlás miatt a szükséges idő
$$t=3T_{1/2}=18\ \mathrm{óra}$$
(1 pont)
c) A vizsgálat kezdetekor a tartóedényben lévő izotópoknak csak a $80\%$-át vitték be a páciensbe, a maradék az edényben maradt. Mennyi idő elteltével lesz ugyanakkora az edényben maradt mennyiség aktivitása, mint a páciensben maradó mennyiség aktivitása?
$24\ \mathrm{óra}$ elteltével.
c) Annak az időpontnak a meghatározása, amelynél a páciensben maradó izotópok, illetve az edényben maradó izotópok aktivitása megegyezik:
4 pont
(bontható)
A páciensbe került, illetve az edényben maradt izotópmennyiség aránya $\underline{4:1}$ (1 pont).
Mivel a két mennyiség a radioaktív bomlás hatására ugyanúgy bomlik (1 pont), akkor lesz az aktivitásuk egyforma, ha a páciensbe került mennyiség a biológiai ürülés miatt a negyedére csökken (1 pont), azaz
$$2T_{\mathrm{biol}} = \underline{24\ \mathrm{óra}}$$
(1 pont) elteltével.
Összesen: 12 pont