Egy konténerbe \(1\ \mathrm{mól}\), $30\ \mathrm{nap}$ felezési idejű radioaktív izotópot helyez egy robot. $30\ \mathrm{nap}$ múlva kinyitja a konténert, és még \(1\ \mathrm{mól}\), az előzővel azonos izotópot helyez az előző minta mellé, majd lezárja a konténert.
a) Ettől kezdve mennyi idő telik el, míg a konténerben ismét \(1\ \mathrm{mól}\) lesz az eredeti izotóp mennyisége?
\(t=17,5\ \mathrm{nap}\)
Adatok:
\(T=30\ \mathrm{nap}\)
\(t_1=30\ \mathrm{nap}\)
\(n_0=1\ \mathrm{mól}\)
a) A bomlástörvény felírása a konténer második lezárását követő időszakra:
3 pont
(bontható)
Mivel a konténert másodszorra éppen az első minta behelyezése után 30 nappal zárta le a robot, ekkor az eredeti minta fele elbomlott (1 pont), de mivel újabb mólnyi anyag került a konténerbe, abban összesen \(\displaystyle\frac{3}{2}\ \mathrm{mól}\) (1 pont) radioaktív mag található.
A bomlástörvény általános alakja:
\[N_t=N_0\cdot 2^{\frac{\large -t\ \ }{\large T_{\mathrm{fel}}}}\]
(1 pont)
A keresett idő meghatározása:
6 pont
(bontható)
Alkalmazva a bomlástörvényt a konkrét esetre
\[n_0=\frac{3}{2} n_0\cdot 2^{\frac{\large -t\ \ }{\large 30\ \mathrm{nap}}}\]
(2 pont)
\[\frac{2}{3}=2^{\frac{\large -t\ \ }{\large 30\ \mathrm{nap}}}\]
(1 pont)
Az egyenlet megoldása:
$$\frac{t}{30\ \mathrm{nap}}=\log_{2}\displaystyle \frac{2}{3}=\displaystyle \frac{\lg \displaystyle \frac{2}{3}}{\lg 2}$$
amiből
\[t=17,5\ \mathrm{nap}\]
(3 pont)
b) A minta kezdeti aktivitása \(1,6\cdot {10^{17}}\ \mathrm{Bq}\) volt. Mekkora volt a konténer tartalmának aktivitása $30\ \mathrm{nap}$ elteltével, az újabb minta behelyezése előtt és után, illetve akkor, amikor visszacsökkent a radioaktív atommagok száma 1 mólra?
$30\ \mathrm{nap}$ elteltével: $0,8\cdot {10^{17}}\ \mathrm{Bq}.$
Az újabb mólnyi izotóp hozzáadásával az aktivitás az eredeti 1,5‑szeresére nő: $2,4\cdot {10^{17}}\ \mathrm{Bq}$
A folyamat végére, $t\approx 47,5\ \mathrm{nap}$ múlva visszaáll a kezdeti értékre: $1,6\cdot {10^{17}}\ \mathrm{Bq}.$
b) Az aktivitás alakulása:
3 pont
(bontható)
Az aktivitás arányos a (bomlásra kész) izotópok számával (1 pont).
Így a kezdeti aktivitás $30\ \mathrm{nap}$ alatt a felére csökken: $0,8\cdot {10^{17}}\ \mathrm{Bq}$ (1 pont).
Az újabb mólnyi izotóp hozzáadásával az aktivitás az eredeti 1,5‑szeresére nő: $2,4\cdot {10^{17}}\ \mathrm{Bq}$, majd a folyamat végére, $t\approx 47,5\ \mathrm{nap}$ múlva visszaáll a kezdeti értékre: $1,6\cdot {10^{17}}\ \mathrm{Bq}$ (1 pont).
Összesen: 12 pont