A mellékelt grafikonon a 2013 novemberéig felfedezett exobolygók (azaz nem a Nap, hanem más csillagok körül keringő bolygók) egy részének adatai vannak feltüntetve. Minden pont egy adott bolygót jelöl, a grafikonon elfoglalt hely megadja a bolygó saját csillagától mért középtávolságát (a pályaellipszis nagytengelyének felét, csillagászati egységben mérve), illetve a keringési idejét földi napokban mérve. Az ábra segítségével válaszoljon az alábbi kérdésekre!
($\gamma=6,67\cdot {10^{-11}}\ \mathrm{\displaystyle\frac{N\cdot m^2}{kg^2}}$, $1\ \mathrm{CSE}=1,5\cdot {10^8}\ \mathrm{km}$ - A Nap és a Föld átlagos távolsága.)
a) Becsüljük meg, hogy mekkora azoknak a csillagoknak a tömege, melyeknek bolygói a grafikonon a következő pontokban helyezkednek el:
- bolygó: \(\ R_1 = 2\ \mathrm{CSE}\), \(\ T_1 = 1000\ \mathrm{nap}\)
- bolygó: \(\ R_2 = 3\ \mathrm{CSE}\), \(\ T_2 = 1800\ \mathrm{nap}\)
- bolygó: \(\ R_3 = 5\ \mathrm{CSE}\), \(\ T_3 = 4000\ \mathrm{nap}\)
Mit állapíthatunk meg ezekről a tömegekről?
\(M_1=2,14\cdot {10^{30}}\ \mathrm{kg}\)
\(M_2=2,23\cdot {10^{30}}\ \mathrm{kg}\)
\(M_3=2,09\cdot {10^{30}}\ \mathrm{kg}\)
Adatok:
\(R_1 = 2\ \mathrm{CSE}\)
\(T_1 = 1000\ \mathrm{nap}\)
\(R_2 = 3\ \mathrm{CSE}\)
\(T_2 = 1800\ \mathrm{nap}\)
\(R_3 = 5\ \mathrm{CSE}\)
\(T_3 = 4000\ \mathrm{nap}\)
\(\gamma=6,67\cdot {10^{-11}}\ \mathrm{\displaystyle\frac{\ N\cdot m^2}{kg^2}}\)
\(1\ \mathrm{CSE}=1,5\cdot {10^8}\ \mathrm{km}\)
a) A Newton‑féle gravitációs erőtörvény és a körmozgás dinamikai feltételének vagy Kepler harmadik törvényének felírása a csillagok tömegének meghatározására:
2 pont
(bontható)
\[\frac{\ \ T^2}{R^3}=\frac{4\pi^2}{\gamma\cdot M}\]
(1 pont)
amiből
\[M=\frac{4\pi^2\cdot R^3}{T^2\cdot \gamma}\]
(1 pont)
A keresett csillagtömegek meghatározása és annak felismerése, hogy ezek közel azonosak:
3 pont
(bontható)
A csillagtömegekre:
\[M_1=2,14\cdot {10^{30}}\ \mathrm{kg}\]
\[M_2=2,23\cdot {10^{30}}\ \mathrm{kg}\]
\[M_3=2,09\cdot {10^{30}}\ \mathrm{kg}\]
adódik.
(3 helyes érték 2 pontot ér, 1‑2 helyes érték 1 pontot)
A fenti értékek majdnem egyenlők vagy közel azonosak (1 pont).
b) Merre keressünk a grafikonon olyan bolygókat, melyeknek csillagai az előző pontban kiszámoltnál lényegesen kisebb tömegűek? Adja meg egy ilyen csillag körül keringő bolygó adatait, és számítsa ki a csillag tömegét!
Az ilyen csillagokat az útmutató ábráján berajzolt vonal fölött, a vonaltól minél távolabb kell keresni.
Néhány példa:
$R=1,8\ \mathrm{CSE},\ \ T=2000\ \mathrm{nap}\to M=3,90\cdot {10^{29}}\ \mathrm{kg}$
$R=2,1\ \mathrm{CSE},\ \ T=3500\ \mathrm{nap}\to M=2,02\cdot {10^{29}}\ \mathrm{kg}$
$R=2,8\ \mathrm{CSE},\ \ T=3300\ \mathrm{nap}\to M=5,40\cdot {10^{29}}\ \mathrm{kg}$
$R=2,9\ \mathrm{CSE},\ \ T=4600\ \mathrm{nap}\to M=3,08\cdot {10^{29}}\ \mathrm{kg}$
b) Annak megfogalmazása, hogy a grafikonon merre kell keresni olyan bolygókat, melyeknek csillagai lényegesen kisebb tömegűek, mint az előző pontban kiszámolt érték:
3 pont
Bármilyen megfogalmazás elfogadható, amely egyértelművé teszi, hogy ilyen csillagokat az útmutató ábráján berajzolt vonal fölött, a vonaltól minél távolabb kell keresni.
Például:
$\bullet $ A grafikonon balra fent lévő pontok, vagy
$\bullet $ Az a) pontban megadott bolygókhoz hasonló keringési idővel, de a csillagukhoz jóval közelebb keringő bolygók, vagy
$\bullet $ Az a) pontban megadott bolygókhoz hasonló keringési távolsággal, de lényegesen nagyobb keringési idővel rendelkező bolygók, vagy
$\bullet $ A pontok által kirajzolt hosszúkás ferde halmaz bal felső részén stb.
(Az itt feltüntetett segédvonalat nem szükséges berajzolnia a vizsgázónak!)
Egy ilyen bolygó adatainak leolvasása és a csillag tömegének megadása:
1 + 1 pont
Néhány példa, az ábrán bekarikázott bolygókkal:
\[R=1,8\ \mathrm{CSE},\ \ T=2000\ \mathrm{nap}\to M=3,90\cdot {10^{29}}\ \mathrm{kg}\]
\[R=2,1\ \mathrm{CSE},\ \ T=3500\ \mathrm{nap}\to M=2,02\cdot {10^{29}}\ \mathrm{kg}\]
\[R=2,8\ \mathrm{CSE},\ \ T=3300\ \mathrm{nap}\to M=5,40\cdot {10^{29}}\ \mathrm{kg}\]
\[R=2,9\ \mathrm{CSE},\ \ T=4600\ \mathrm{nap}\to M=3,08\cdot {10^{29}}\ \mathrm{kg}\]
Más helyes megoldás is elfogadható. Mivel az adatok pontos leolvasása nehéz, és a formulában hatványozva szerepelnek, a tömegértékek legfeljebb $20\%$‑os hibával fogadhatók el.
c) Merre keressünk a grafikonon olyan bolygókat, amelyek az a) pontban kiszámoltnál nagyobb tömegű csillag körül keringenek?
Az ilyen csillagokat az ábrán az útmutatóban berajzolt vonal alatt, illetve attól jobbra kell keresni, a vonaltól minél távolabb.
c) Annak megfogalmazása, hogy a grafikonon merre kell keresni olyan bolygókat, melyeknek csillagai nagyobb tömegűek, mint az a) pontban kiszámolt érték:
3 pont
Bármilyen megfogalmazás elfogadható, amely egyértelművé teszi, hogy ilyen csillagokat az ábrán az útmutatóban berajzolt vonal alatt, illetve attól jobbra kell keresni, a vonaltól minél távolabb.
(Lehetséges megfogalmazások, mint a b) pontnál.)
Összesen: 13 pont