Határozza meg az \(\alpha\)-részecske sebességét és de Broglie-hullámhosszát! 

\(v=2410\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{s}}\)

\(\lambda=4,15\cdot {10^{-11}}\ \mathrm{m}\)

A feladat (tévesen) negatív értékűnek adja meg az elemi töltést, pedig az elemi töltéls nem az elektron töltését jelenti, hanem a legkisebb megfigyelhető töltést, méghozzá konvenció szerint pozitív előjellel:

\[e=1,6\cdot {10^{-19}}\ \mathrm{C}\]

Az elektron töltése emiatt az "elemi töltés mínusz egyszerese":

\[q_{\mathrm{elektron}}=-e=-1,6\cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}\]

Mivel a feladat szerint az elemi töltés (hibásan) negatív, ezért a javítókulcsában az alfa-részecske töltése az elemi töltés "mínusz kétszereseként" szerepel:

\[q_{\alpha}=-2\cdot e=3,2\cdot {10^{-19}}\ \mathrm{C}\]

ami (korrigálva a kezdeti hibát) már helyes végeredményt ad.

Adatok: 

\(R=0,5\ \mathrm{m}\)

\(B=10^{-4}\ \mathrm{T}\)

\(m_{\alpha}=6,64\cdot {10^{-27}}\ \mathrm{kg}\)

\(e=-1,6\cdot {10^{-19}}\ \mathrm{C}\)

\(h=6,62\cdot {10^{-34}}\ \mathrm{Js}\)
 

Az alfa‑részecske homogén mágneses térben végzett mozgására vonatkozó egyenlet felírása és sebességének kiszámítása:

6 pont
(bontható)

\[F_{\mathrm{cp}}=F_{\mathrm{Lorentz}}\]

(1 pont)

\[m_{\alpha}\cdot \frac{\ v^2}{R}=q_{\alpha}\cdot v\cdot B\]

(1 pont)

amiből

\[v=\frac{q_{\alpha}\cdot B\cdot R}{m_{\alpha}}\]

(rendezés, 1 pont)

Mivel

\[q_{\alpha}=-2\cdot e=3,2\cdot {10^{-19}}\ \mathrm{C}\]

(1 pont)

\[v=\frac{0,5\cdot 3,2\cdot {10^{-19}}\cdot {10^{-4}}}{6,64\cdot {10^{-27}}}\: \! \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\]

\[v=2410\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{s}}\]

(behelyettesítés + számítás, 1 + 1 pont)

Az alfa‑részecske de‑Broglie hullámhosszának felírása és kiszámítása:

4 pont
(bontható)

\[\lambda=\frac{h}{p}\]

(2 pont)

amiből

\[\lambda=\frac{6,62\cdot {10^{-34}}}{6,64\cdot {10^{-27}}\cdot 2410}\ \mathrm{m}\]

\[\lambda=4,15\cdot {10^{-11}}\ \mathrm{m}\]

(behelyettesítés + számítás, 1 + 1 pont)

(A $v$ kiszámítása nem szükséges a hullámhossz megadásához, hiszen a körmozgás egyenletéből az alfa‑részecske lendülete közvetlenül megkapható.)

Összesen: 10 pont