Egy hengerben súlytalan dugattyú \(T = 300\ \mathrm{K}\) hőmérsékletű, \(20\ \mathrm{cm}\) magas héliumgáz oszlopot zár el. A dugattyún \(20\ \mathrm{cm}\) magas higanyréteg van. A hengeren, a higany fölött \(10\ \mathrm{cm}\)‑rel egy nyílás található, melyen keresztül a higany egy edénybe folyhat ki, ha eléri a nyílás szintjét. A gázt lassan melegítjük, a hőmérséklete és a térfogata is lassan növekszik, míg a higany ki nem folyik a hengerből. A henger keresztmetszete \(400\ \mathrm{{cm}^2}\).
$\bigg(g=9,8\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{\ s^2}}$, $R=8,3\ \mathrm{\displaystyle\frac{J}{mol\cdot K}}$, a higany sűrűsége $13,6\ \mathrm{\displaystyle\frac{g}{\ cm^3}}$, a légköri nyomás $p_0=10^5\ \mathrm{Pa}$, a hélium moláris tömege $4\ \mathrm{\displaystyle\frac{g}{mol}}.\bigg)$
a) Mekkora a bezárt gáz nyomása kezdetben? Mekkora a bezárt gáz tömege?
\(p_1=1,27\cdot {10^5}\ \mathrm{\displaystyle\frac{N}{\ m^2}}\)
\(1,63\ \mathrm{g}\)
Adatok
\(A=400\ \mathrm{{cm}^2}\)
\(T_1=300\ \mathrm{K}\)
\(h_{\mathrm{Hg}}=20\ \mathrm{cm}\)
\(h_1=20\ \mathrm{cm}\)
\(h'=30\ \mathrm{cm}\)
\(g=9,8\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{\ s^2}}\)
\(R=8,31\ \mathrm{\displaystyle\frac{J}{mol\cdot K}}\)
\(p_0=10^5\ \mathrm{Pa}\)
\(\varrho=13,6\ \mathrm{\displaystyle\frac{g}{\ cm^3}}\)
\(M=4\ \mathrm{\displaystyle\frac{g}{mol}}\)
a) A bezárt gáz kezdeti nyomásának felírása és kiszámítása:
3 pont
(bontható)
\[p_1\cdot A=p_0\cdot A+m_{\mathrm{Hg}}\cdot g\]
\[p_1=p_0+\varrho\cdot g\cdot h_{\mathrm{Hg}}\]
\[p_1=1,27\cdot {10^5}\ \mathrm{\displaystyle\frac{N}{\ m^2}}\]
(képlet + számítás: 2 + 1 pont)
Amennyiben a vizsgázó a külső légnyomással nem számol, erre a részre legfeljebb csak egy pont adható! Ha a vizsgázó \(g = 10\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{\ s^2}}\) értékkel számol, nem jár pontlevonás.
A bezárt gáz tömegének felírása és kiszámítása:
3 pont
(bontható)
\[p_1\cdot V_1=\frac{m}{M} R\cdot T_1\]
$$\boldsymbol{\Rightarrow}$$
$$\frac{p_1\cdot h_1\cdot A\cdot M}{R\cdot T_1}=1,63\ \mathrm{g}$$
(képlet + rendezés + számítás: 1 + 1 + 1 pont)
b) Mekkora a gáz hőmérséklete akkor, amikor a higanyoszlop teteje eléri a nyílást? Mennyi munkát végzett eddig a gáz?
\(T_2=450\ \mathrm{K}\)
\(W=508\ \mathrm{J}\)
b) A keresett hőmérséklet felírása és kiszámítása:
3 pont
(bontható)
Mivel \(h_2=30\ \mathrm{cm}\) (1 pont):
\[T_2=\frac{V_2}{V_1}\cdot T_1\]
\[T_2\frac{h_2}{h_1}\cdot T_1\]
\[T_2=450\ \mathrm{K}\]
(képlet + számítás: 1 + 1 pont)
A gáz által végzett munka felírása és kiszámítása:
1 + 1 pont
\[W=p_1 (V_2-V_1)\]
\[W=508\ \mathrm{J}\]
(képlet + számítás: 1 + 1 pont)
c) Mekkora a gáz hőmérséklete abban a pillanatban, amikor az utolsó csepp higany is kifolyt a hengerből?
\(T_3=590\ \mathrm{K}\)
c) A keresett hőmérséklet felírása és kiszámítása:
3 pont
(bontható)
Mivel
\[p_3=p_0=10\ \mathrm{\displaystyle\frac{N}{\ cm^2}}\]
(1 pont)
és
\[V_3=h_3\cdot A\]
\[V_3=50\ \mathrm{cm}\cdot 400\ \mathrm{cm^2}\]
\[V_3=20\ 000\ \mathrm{cm^3}\]
(1 pont)
\[T_3=\frac{p_3\cdot V_3}{p_1\cdot V_1}\]
\[T_3=590\ \mathrm{K}\]
(1 pont)
Összesen: 14 pont