Négy egyforma ellenállás felhasználásával szeretnénk zárt hurkot készíteni. Ha az ellenállások bármelyikét egy \(9\ \mathrm{V}\)-os telepre kapcsoljuk, akkor teljesítményük \(6\ \mathrm{W}\) lesz. Az ábráknak megfelelő kapcsolásokat állítottuk össze.
a) Először a bal oldali ábrának megfelelően az $\textrm{"A"}$ és $\textrm{"B"}$ pont közé egy \(9\ \mathrm{V}\)‑os feszültségforrást kapcsolunk. Mekkora ebben a kapcsolásban a négy fogyasztó által leadott összes teljesítmény? Hogyan változik és mekkora lesz a négy fogyasztó együttes teljesítménye, ha a \(9\ \mathrm{V}\)‑os feszültségforrást a jobb oldali ábrának megfelelően az $\textrm{"A"}$ és a $\textrm{"C "}$ pont közé kötjük?
$P_{\mathrm{összes}} = 8\ \mathrm{W}$
${P'}_{\! \! \mathrm{összes}}= 6\ \mathrm{W}$
Adatok:
\(U_0=9\ \mathrm{V}\)
\(P_{\mathrm{n}}=6\ \mathrm{W}\)
\({P'}_{\! \mathrm{n}}=3\ \mathrm{W}\)
a) A fogyasztók összes teljesítményének meghatározása az első elrendezésben:
3 pont
(bontható)
Mivel az első elrendezésben az „1”-es fogyasztóra \(U_0\) feszültség jut, a „2”-es, „3”-as és „4”-es fogyasztóra pedig ennek harmada, $P_1 = 6\ \mathrm{W}$:
\[P_2=P_3=P_4=\left(\frac{U_0}{3}\right)^{\! 2}\cdot \frac{1}{R}=0,67\ \mathrm{W}\]
(képlet + számítás: 1 + 1 pont)
tehát \[P_{\mathrm{összes}}=8\ \mathrm{W}\]
(1 pont)
A fogyasztók összes teljesítményének meghatározása a második elrendezésben:
4 pont
(bontható)
Mivel a második elrendezésben minden ellenállásra \(4,5\ \mathrm{V}\) feszültség jut
\[{P'}_{\! \! 1}={P'}_{\! \! 2}={P'}_{\! \! 3}={P'}_{\! \! 4}=\left(\frac{U_0}{2}\right)^{\! 2}\cdot \frac{1}{R}=1,5\ \mathrm{W}\]
(képlet + számítás: 1 + 1 pont)
tehát
$${P'}_{\! \! \mathrm{összes}}= 6\ \mathrm{W}$$
(1 pont)
azaz az összteljesítmény csökken (1 pont).
(A teljesítmény csökkenését ki lehet fejezni képlettel is pl. \(\mathit{\Delta} P = - 2\ \mathrm{W}\).)
b) Hasonlítsa össze a négy fogyasztó együttes teljesítményét a két elrendezésben, ha az „1”‑es fogyasztót egy olyan ellenállásra cseréljük, mely \(9\ \mathrm{V}\)‑os telepre kapcsolva \(3\ \mathrm{W}\) teljesítményt ad le!
\(P_{\mathrm{összes}}={P'}_{\! \! \mathrm{összes}}=5\ \mathrm{W}\)
b) A fogyasztók összes teljesítményének meghatározása a második esetben, az első elrendezésben:
2 pont
(bontható)
Az első elrendezésben az „1”‑es fogyasztó cseréje nem befolyásolja a többire eső teljesítményt, így
\[P_1=3\ \mathrm{W}\]
\[P_2=P_3=P_4=0,67\ \mathrm{W}\]
(1 pont)
tehát $$P_{\mathrm{összes}}=5\ \mathrm{W}$$
(1 pont)
A fogyasztók összes teljesítményének meghatározása a második esetben, a második elrendezésben:
5 pont
(bontható)
A második elrendezésben a „2”‑es és „3”‑as fogyasztóra jutó feszültség nem változik, így
\[\underline{{P'}_{\! \! 2}={P'}_{\! \! 3}=1,5\ \mathrm{W}}\]
(1 pont)
Viszont most ${R'}_{\! 1}= 2R_1$, így nem egyenletesen oszlik meg a $9\ \mathrm{V}$ feszültség. Az „1”‑es fogyasztóra \(6\ \mathrm{V}\) jut, míg a „4”‑esre $3\ \mathrm{V}$ (1 pont).
Emiatt
$${P'}_{\! \! 1}=\left(\frac{2U_0}{3}\right)^{\! 2}\cdot \frac{1}{R'}$$
$${P'}_{\! \! 1}=1,33\ \mathrm{W}$$
illetve
\[{P'}_{\! \! 4}=\left(\frac{U_0}{3}\right)^{\! 2}\cdot \frac{1}{R}\]
$${P'}_{\! \! 1}=0,67\ \mathrm{W}$$
(1 pont)
Így
$${P'}_{\! \! \mathrm{összes}}=5\ \mathrm{W}$$
(1 pont)
azaz a két esetben az összteljesítmény azonos lesz (1 pont).
Összesen: 14 pont