Hányszor (hány %-kal) magasabb hosszú távon az összköltsége a hagyományos izzónak a kompakt izzóhoz képest? A villamosenergia egységára legyen 40 Ft/kWh! (A beruházási költség kamatvonzatával ne számoljunk!)

4,135-szer (313,5 %-kal)

Az izzóval kapcsolatosan kétféle költségünk merül fel:

• az izzók megvásárlásakor fizetendő ár (beruházási költség)
• az izzók által elfogyasztott villamosenergia díja (üzemeltetési költség)

Ahhoz, hogy korrektül össze tudjuk hasonlítani az izzók használatával járó összes költségeket, azonos nagyságú időtartamra kell őket vizsgálnunk. De mekkora legyen az azonos időtartam? Két egyszerű lehetőség kínálkozik erre, ezért innentől 2‑féle megoldást alkalmazhatunk.

1. megoldás

A legegyszerűbb, ha egységnyi időre, azaz  1 óra időtartamra hasonlítjuk őket össze. Azért nem az idő SI egységére (1 másodpercre) hasonlítjuk őket össze, mert a villamosenergia egységára $\mathrm{\displaystyle {{Ft}\over {kWh}}}$ egységben adott, ezért célszerűbb órában gondolkodnunk.

Először vizsgáljuk meg, mekkorák az 1 óra időtartamra eső beruházási költségeink! Egy 1000 órás izzó esetén 1 óra alatt az élettartamának $\displaystyle\frac{1}{1000}$ része telik el, így a beszerzési árának $\displaystyle\frac{1}{1000}$ része jut az 1 órás időtartamra. A 10 000 órás kompakt beszerzési árának pedig $\displaystyle\frac{1}{10\ 000}$ része jelentkezik 1 óra alatt:

Számítsuk ki, mennyi energiaköltségünk jelentkezik 1 óra alatt az egyes izzóknál! Ehhez először az elfogyasztott energiát kell kiszámolnunk. Használjuk a teljesítmény definícióját:

$$P={{\Delta E}\over {\Delta t}}$$

Amiből az elhasznált energia:

$$\Delta E=P\cdot \Delta t$$

Mivel a villamosenergia árát $\mathrm{\displaystyle {{Ft}\over {kWh}}}$ egységben ismerjük, ezért a $P$ teljesítményeket váltsuk át $\mathrm{W}$‑ból $\mathrm{kW}$‑ba!

$$100\ \mathrm{W}=0,1\ \mathrm{kW}$$

$$22\ \mathrm{W}=0,022\ \mathrm{kW}$$

Számítsuk ki ezekből az elfogyasztott energia árát annak tudatában, hogy \(1\ \mathrm{kWh}\) ára \(40\ \mathrm{Ft}\)!

Adjuk össze a költségeket, hogy megkapjuk a teljes költségeket:

Hányszor és hány %‑kal nagyobb a hagyományos izzó összköltsége óránként, mint a kompakté?

$${{4,3\ {\mathrm{\displaystyle {Ft}\over {\displaystyle h}}}}\over {1,04\ \mathrm{\displaystyle {{Ft}\over {h}}}}}=4,135=413,5\ \%$$

Tehát 4,135‑ször, azaz 313,5 %‑kal drágább a hagyományos izzó, mint a kompakt.

2. megoldás

A másik egyszerű megoldás, hogy olyan hosszúságú időtartamot választunk, ami alatt mindkét fajta izzóból pontosan egész számú fog elhasználódni (kiégni). Mivel ha az egyik izzó a vizsgált időtartam alatt nem égne ki, akkor a számításunk torz lesz, hiszen beleszámítottuk az izzó megvásárlásának költségét, de ezt "nem használtuk le" teljesen, így magasabb költséget mutatnánk ki, mint ami valójában van.

Az összehasonlításhoz megfelelő időtartam az izzó élettartamok legkisebb közös többszöröse, ami az 1000 óra és 10 000 óra alapján 10 000 óra.

Először hasonlítsuk össze a beruházási költségeket ez alatt a 10 000 óra alatt:

Nézzük most az üzemeltetési költséget, azaz az izzók energiafogyasztását! Használjuk a teljesítmény definícióját:

$$P={{\Delta E}\over {\Delta t}}$$

Amiből az elhasznált energia:

$$\Delta E=P\cdot \Delta t$$

Mivel a villamosenergia árát $\mathrm{\displaystyle {{Ft}\over {kWh}}}$ egységben ismerjük, ezért a $P$ teljesítményeket váltsuk át $\mathrm{W}$‑ból $\mathrm{kW}$‑ba!

$$100\ \mathrm{W}=0,1\ \mathrm{kW}$$

$$22\ \mathrm{W}=0,022\ \mathrm{kW}$$

 
Mekkora költséggel jár ez a villanyszámlában?

Mekkora a teljes költség?

A hagyományos izzó használata ez alapján

$${{43\ 000\ \mathrm{Ft}}\over {10\ 400\ \mathrm{Ft}}}=4,135$$

azaz 4,135‑szer nagyobb, vagyis 413,5 %‑a a kompakt izzós megoldásnak. Így 313,5 %‑kal magasabb összköltséggel jár, mintha kompakt izzót használnánk.

b)  Mennyi idő használat alatt térül meg, ha kompakt izzóról LED-re váltunk (mennyi a megtérülési idő)?

$5833,3\ \mathrm{h}$

Kezdetben a kompakt izzó $1600\ \mathrm{Ft}$‑os beruházási költséggel jár, míg a LED $3000\ \mathrm{Ft}$‑ossal.

Az üzemeltetési költség (energiaköltség) számításához először nézzük az elfogyasztott energiát!

$$\Delta E=P\cdot \Delta t$$

Mivel a villamosenergia árát $\mathrm{\displaystyle {{Ft}\over {kWh}}}$ egységben ismerjük, ezért a $P$ teljesítményeket váltsuk át $\mathrm{W}$‑ból $\mathrm{kW}$‑ba!

$$22\ \mathrm{W}=0,022\ \mathrm{kW}$$

$$16\ \mathrm{W}=0,016\ \mathrm{kW}$$

Ebből az elfogyasztott energia költsége pedig, ha tudjuk, hogy a villamosenergia egységára $40\ \mathrm{\displaystyle {{Ft}\over {kWh}}}$:

Ez alapján felírhatjuk az egyenletet, hogy mikor lesz egyenlő a teljes költség (beruházási és üzemeltetési) a kompakt izzóra illetve a LED‑re:

$$1600\ \mathrm{Ft}+0,022\ \mathrm{kW}\cdot \Delta t\cdot 40\ \mathrm{{{Ft}\over {kWh}}}=3000\ \mathrm{Ft}+0,016\ \mathrm{kW}\cdot \Delta t\cdot 40\ \mathrm{{{Ft}\over {kWh}}}$$

$$0,88\cdot \Delta t\cdot \mathrm{{{Ft}\over {h}}}=2400\ \mathrm{Ft}+0,64\cdot \Delta t\cdot \mathrm{{{Ft}\over {h}}}$$

$$0,24\cdot \Delta t\cdot \mathrm{{{Ft}\over {h}}}=2400\ \mathrm{Ft}$$

$$\Delta t=5833,3\ \mathrm{h}$$

Tehát 5833,3 óra használat múlva térül meg a váltás LED‑re.

Ellenőrizzük, hogy ennyi idő alatt nem merült‑e fel újabb izzóvásárlási költség! Nem, hiszen a kompakt élettartama $10\ 000\ \mathrm{h}$, míg a LED‑é $25\ 000\ \mathrm{h}$.

Ábrázoljuk a teljes költségeket a használati idő függvényében!

Megfigyelhetjük, hogy a kompakt izzó esetében 10 000 óránként következik be "költségugrás", amikor is új izzót kell venni, míg a LED esetében csak 25 000 óránként, bár olyankor nagyobb az ugrás, hiszen 1 db LED drágább, mint 1 db kompakt ($3000\ \mathrm{Ft}$ vs $1600\ \mathrm{Ft}$).

A görbék $m$ meredeksége mindig az egységnyi vízszintes (x) tengelybeli változásra jutó függőleges (y) tengelybeli változást jelenti:

$$m={{\Delta y}\over {\Delta x}}={\mathrm{{Teljes\ költség}}\over {\Delta t\ (\mathrm{h})}}$$

tehát itt azt, hogy óránként hány $\mathrm{Ft}$ költség keletkezik.

Ez a kompakt izzóra illetve a LED‑re:

$$m_{komp}=0,88\ \mathrm{{{Ft}\over {h}}}$$

$$m_{LED}=0,64\ \mathrm{{{Ft}\over {h}}}$$ 

c)  Hány Ft költségmegtakarítást eredményezne évente, ha egy egész évben éjjel‑nappal világító helyen (például alagútban) egy db kompakt izzó LED‑re cserélünk? (Az "évente" alatt a hosszú távon számolt megtakarítás egy évnyi működésre eső részét értsük! Ne az első év végéig kifizetett összköltségeket hasonlítsuk össze!)

$2452,8\ \mathrm{Ft}$

Számítsuk ki, hogy egy év során összesen hány órán keresztül működnek az izzók:

$$365\ \mathrm{{nap \over {év}}}\cdot 24\ \mathrm{{óra \over {nap}}}=8760\ \mathrm{{óra \over {év}}}$$

Számítsuk ki, hogy 8760 óra alatt mekkora a teljes költségünk kompakt izzóra illetve LED‑re! Kezdjük a beruházási költséggel! Ez az időtartam rövidebb, mint az izzók élettartama, ezért ezalatt egyik sem használódik el (teljesen). Ezért beruházási költségnek nem helyes az izzók teljes árát vennünk, hiszen a 8760 óra alatt el nem használt izzó még tovább lenne használható (izzóvásárlás nélkül), vagyis még "maradt benne" az érte kifizetett összegből valamennyi érték. Ehelyett számításba vehetjük az izzóvásárlás összegének erre az időtartamra eső hányadát, vagyis a beruházási költség időarányos részét. Ahányad része az egy év alatti 8760 óra működési idő a teljes élettartamnak, annyiad részét kell vennünk az izzó árának:

 
Ehhez az időarányos beruházási költséghez még hozzá kell vennünk az energiafogyasztás költségét:

A teljes költség ezek alapján:

A megtakarításunk évente:

$$9110,4\ \mathrm{Ft}-6657,6\ \mathrm{Ft}=2452,8\ \mathrm{Ft}$$