Egy takarmánygyártó kisüzem darálógépében jelenleg egy $600\ \mathrm{W}$‑os villanymotor van. Az üzemben naponta egyetlen 8 órás műszakban folyik a termelés, a hét minden napján. A villanymotor 2 évente szokott tökre menni, ilyenkor egy újat kell venni $32\ 000\ \mathrm{Ft}$‑ért, és beépíteni a régi helyére. Egy villanymotorok kereskedelmével foglalkozó cég értékesítési (sales) munkatársa felkereste a takarmányüzemet, és azt javasolta nekik, hogy térjenek át az általuk kínált új villanymotorra, mely kevesebb energiát fogyaszt (csak $560\ \mathrm{W}$‑ot), és 2,5 évig fogja bírni az üzemeltetést. Természetesen ez a villanymotor drágább: $53\ 000\ \mathrm{Ft}$. A villamosenergia egységára legyen \(\displaystyle 40\ \mathrm{\frac{Ft}{kWh}}\)!
a) Megéri áttérni az ajánlott új villanymotorra (hosszú távon, az összköltség szempontjából)?
Nem.
A villanymotorral kapcsolatban kétféle költségünk van:
- a villanymotor beszerzési ára (mint beruházási költség)
- a villanymotorok villamosenergia fogyasztásának díja (mint üzemeltetési költség)
A régi motor 2 évig bírja, az új viszont 2,5 évig, ezért olyan hosszúságú időszakra kell az összehasonlítást elvégeznünk, ami alatt mindkét fajta villanymotorból pont egész számú darab használódik el. Ehhez a 2‑nek és a 2,5‑nek a legkisebb közös többszörösét kell megkeresnünk. Ha 10 éves időtartamot vizsgálunk, azalatt a régi motorból 5 db használódik el, míg az újból 4 db.
A 10 év alatt a beruházási költségek alakulása:
| Régi | Új | |
| Beruházási költség (10 év alatt) | $$5\ \mathrm{db}\cdot 32\ 000\ \mathrm{{{Ft}\over {db}}}=$$ $$=160\ 000\ \mathrm{Ft}$$ | $$4\ \mathrm{db}\cdot 53\ 000\ \mathrm{{{Ft}\over {db}}}=$$ $$=212\ 000\ \mathrm{Ft}$$ |
Az üzemeltetési költséget is ugyanerre a 10 éves időtartamra kell összehasonlítanunk. Évi hány órát kell üzemelnie a villanymotornak?
$$8\ \mathrm{{{h}\over {nap}}}\cdot 365\ \mathrm{{{nap}\over {év}}}=2920\ \mathrm{{{h}\over {év}}}\ $$
10 év alatt pedig tízszer ennyit, azaz $29\ 200\ \mathrm{h}$‑t üzemelnek a villanymotorok.
Mennyi villamosenergiát fogyasztanak el $29\ 200\ \mathrm{h}$ alatt az egyes villanymotorok?
$$\Delta E=P\cdot \Delta t$$
Mivel a villamosenergia árát $\mathrm{\displaystyle {{Ft}\over {kWh}}}$ egységben ismerjük, ezért a $P$ teljesítményeket váltsuk át $\mathrm{W}$-ból $\mathrm{kW}$-ba!
$$600\ \mathrm{W}=0,6\ \mathrm{kW}$$
$$560\ \mathrm{W}=0,56\ \mathrm{kW}$$
| Régi | Új | |
| Elfogyasztott villamosenergia (10 év alatt) | $$0,6\ \mathrm{kW}\cdot 29\ 200\ \mathrm{h}=$$ $$=17\ 520\ \mathrm{kWh}$$ | $$0,56\ \mathrm{kW}\cdot 29\ 200\ \mathrm{h}=$$ $$=16\ 352\ \mathrm{kWh}$$ |
Mekkora költséggel jár ez a villanyszámlában?
| Régi | Új | |
| Üzemeltetési költség (10 év alatt) | $$17\ 520\ \mathrm{kWh}\cdot 40\ \mathrm{{{Ft}\over {kWh}}}=$$ $$=700\ 800\ \mathrm{Ft}$$ | $$16\ 352\ \mathrm{kWh}\cdot 40\ \mathrm{{{Ft}\over {kWh}}}=$$ $$=654\ 080\ \mathrm{Ft}$$ |
Mekkora a teljes költség?
| Régi | Új | |
| Beruházási költség (10 év alatt) | $$160\ 000\ \mathrm{Ft}$$ | $$212\ 000\ \mathrm{Ft}$$ |
| Üzemeltetési költség | $$700\ 800\ \mathrm{Ft}$$ | $$654\ 080\ \mathrm{Ft}$$ |
| Teljes költség (10 év alatt) | $$860\ 800\ \mathrm{Ft}$$ | $$866\ 080\ \mathrm{Ft}$$ |
Ez alapján, ugyan nem nagy a különbség, de nem éri meg áttérni az új villanymotorra (ha a feladatban szereplőkön túli, egyéb szempontokkal nem számolunk).
$$=212\ 000\ \mathrm{Ft}$$
b) Az ajánlott új villanymotor hány \(\displaystyle \mathrm{\frac{Ft}{db}}\)‑os ára esetén lenne teljesen mindegy (hosszú távon, az összköltség szempontjából), hogy áttérünk-e az újra?
\(\displaystyle 51\ 680\ \mathrm{\frac{Ft}{db}}\)
A 10 éves időszak alatt a régi villanymotorra a teljes költséget az előző kérdésben $860\ 800\ \mathrm{Ft}$‑nak kaptuk. Ha az új villanymotor teljes költsége pont ennyi lenne, akkor mindegy, melyiket választjuk. Az új villanymotorról tudjuk, hogy 10 év alatt az üzemeltetséi költsége $654\ 080\ \mathrm{Ft}$, és 10 év alatt $4\ \mathrm{db}$ használódik el belőle. Ez alapján felírhatjuk az egyenletet:
$$860\ 800\ \mathrm{Ft}=654\ 080\ \mathrm{Ft}+4\ \mathrm{db}\cdot \mathrm{x}\ $$
$$206\ 720\ \mathrm{Ft}=4\ \mathrm{db}\cdot \mathrm{x}\ $$
$$\mathrm{x}=51\ 680\ \mathrm{{{Ft}\over {db}}}$$
Tehát ha sikerül lealkudnunk az új villanymotorok árát $51\ 680\ \mathrm{\displaystyle \frac{Ft}{db}}$ alá, akkor megéri váltani (ha egyéb, a számításunkban figyelembe nem vett szempontok hatása nem változtat ezen).