Melyik anyagból lehet az adott feltételeknek megfelelő, lehető legkönnyebb vezetéket elkészíteni?

Alumíniumból.

Annak megadása, hogy egy adott anyagú, ellenállású és hosszúságú vezetéknek mekkora a keresztmetszete:

4 pont
(bontható)

\[R=\varrho^*\cdot \frac{l}{A}\]

amiből

\[A=\varrho^*\cdot \frac{l}{R}\]

(képlet + rendezés 2 + 2 pont)

1. megoldás:

Annak megadása, hogy az adott tulajdonságú vezeték tömege hogyan függ az anyagi minőségétől:

4 pont
(bontható)

Mivel a vezeték tömege 

\[m=\varrho\cdot l\cdot A\]

\[m=\varrho\cdot l\cdot \varrho^*\cdot \frac{l}{R}\]

\[m=\varrho\cdot \varrho^*\cdot \frac{l^2}{R}\]

(Képlet + egyenletrendezés, 2 + 2 pont)

Annak felismerése, hogy a sűrűség és a fajlagos ellenállás szorzatának lehető legkisebb értéke biztosítja a legkisebb tömeget:

4 pont

A keresett anyag megnevezése:

3 pont

A táblázatban található anyagok közül az alumínium esetén minimális a szorzat, tehát ebből kell készíteni a vezetéket. 

2. megoldás

A megadott adatokkal a szükséges keresztmetszet kiszámítása az egyes anyagokra:

5 pont
(bontható)

A korábban felírt egyenletbe helyettesítve 

\[A=\varrho^*\cdot \frac{l}{R}\]

az alumínium: \(2,67\cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^2}\)

a réz: \(1,69\cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^2}\)

az ezüst: \(1,63\cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^2}\)

a titán: \(5,4\cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^2}\)

keresztmetszetű.

(Az első adat kiszámítása 2 pont, a többi 1‑1 pont.) 

Az egyes vezetékek tömegének meghatározása az \(m=\varrho\cdot l\cdot A\) összefüggés alapján:

5 pont
(bontható)

Alumínium: \(3,6\cdot 10^{-2}\ \mathrm{kg}\)

réz: \(7,5\cdot 10^{-2}\ \mathrm{kg}\)

ezüst: \(8,6\cdot 10^{-2}\ \mathrm{kg}\)

titán: \(1,2\ \mathrm{kg}\)

A keresett anyag megnevezése:

1 pont

Ezek közül a vezetékek közül az alumínium a legkönnyebb.

Összesen: 15 pont