a)  Ha 3 db $50\ \mathrm{g}$-os súlyt akasztunk rá, attól $6\ \mathrm{cm}$-rel lesz hosszabb. Mekkora a rugó rugóállandója?

\(\displaystyle D=25\ \mathrm{\frac{N}{m}}\)

A rugóállandó:

\[D=\frac{F_{\mathrm{R}}}{\Delta l}\]

A rugóra akasztott három darab, egyenként \(m=50\ \mathrm{g}\)-os nehezék nyugalomban van, ezért a gyorsulása nulla, így a rá ható erők eredője is nulla. A nehezékeket lefelé húzza az \(mg\) nehézségi erő, felfelé pedig az \(F_{\mathrm{R}}\) rugóerő. Ezek úgy adhatnak nulla eredő erőt, ha kioltják egymást, azaz azonos nagyságúak. Vagyis a rugóerő:

\[F_{\mathrm{R}}=3m\cdot g\]

Váltsuk át az \(m\) tömeget SI-egységbe:

\[m=50\ \mathrm{g}=0,05\ \mathrm{kg}\]

Most már mindent be tudunk írni SI-egységben, így a mértékegységeket elhagyhatjuk:

\[F_{\mathrm{R}}=3\cdot 0,05 \cdot 10\]

\[F_{\mathrm{R}}=1,5\ \mathrm{N}\]

Ennek segítségével a rugóállandó:

\[D=\frac{F_{\mathrm{R}}}{\Delta l}\]

\[D=\frac{1,5\ \mathrm{N}}{6\ \mathrm{cm}}\]

\[D=\frac{1,5\ \mathrm{N}}{0,06\ \mathrm{m}}\]

\[D=25\ \mathrm{\frac{N}{m}}\]

b)  Mennyi lesz a rugó megnyúlása (a nyújtatlan hosszához képest), ha még további 2 db $50\ \mathrm{g}$-os súlyt is ráakasztunk?

\(\Delta l=0,1\ \mathrm{m}=10\mathrm{cm}\)

 1. megoldás 

Kiindulunk a rugó erőtörvényéből:

\[F_{\mathrm{R}}=D\cdot \Delta l\]

amiből a megnyúlás:

\[\Delta l=\frac{D}{F_{\mathrm{R}}}\]

A rugóerő most is azonos nagyságú a nehezékekre ható nehézsági erővel. Belőlük most már összesen 5 db van:

\[F_{\mathrm{R}}=5\cdot 0,05\cdot 10\]

\[F_{\mathrm{R}}=2,5\ \mathrm{N}\]

Beírva az 1. kérdésben kiszámolt rugóállandót:

\[\Delta l=\frac{D}{F_{\mathrm{R}}}\]

\[\Delta l=\frac{2,5\ \mathrm{N}}{25\ \mathrm{\frac{N}{m}}}\]

\[\Delta l=0,1\ \mathrm{m}=10\ \mathrm{cm}\]
 

 2. megoldás 

A rugóerő erőtörvénye alapján a megnyúlás és a rugóerő (ami azonos nagyságú a ráakasztott testek súlyával) egyenesen arányosak, így ahányszorosára növekszik az egyik, a másik pont ugyanannyiszorosára nő. Aránypárként felírva:

\[3\ \mathrm{db}\ \to \ 6\ \mathrm{cm}\]

\[5\ \mathrm{db}\ \to \ \mathrm{X\ cm}\]

Mivel a bal oldal \(5/3\)-szorosra nőtt, így a jobb oldal is ugyanilyen arányban kell, hogy növekedjen:

\[\mathrm{X}=\frac{5}{3}\cdot 6=10\]

vagyis a végső megnyúlás \(10\ \mathrm{cm}\) lesz.