A kanadai CASSIOPE kutatóműhold olyan ellipszispályán kering a Föld körül, melynek földközelpontja (amikor a legközelebb kerül a Földhöz) a felszín felett \(325\ \mathrm{km}\), míg földtávolpontja (pályájának a Földtől legtávolabbi pontja) a földfelszín felett \(1486\ \mathrm{km}\) magasságban van. A CloudSat amerikai műhold szinte körpályán, a földfelszín felett \(702,5\ \mathrm{km}\) magasan \(98,8\ \mathrm{perc}\) alatt kerüli meg a Földet.
(A gravitációs állandó \(\gamma=6,67 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{\displaystyle\frac {N \cdot m^2}{kg^2}}\), a gömb alakúnak tekinthető Föld sugara \(6371\ \mathrm{km}\).)
a) Mekkora a CASSIOPE keringési ideje?
\(T_1\approx 103\ \mathrm{perc}\)
Adatok:
\(R_{\mathrm{F}}=6371\ \mathrm{km}\)
\(\gamma=6,67\cdot 10^{-11}\ \mathrm{\displaystyle\frac {N \cdot m^2}{kg^2}}\)
\(h_1=325\ \mathrm{km}\)
\(h_1'=1488\ \mathrm{km}\)
\(T_2=98,8\ \mathrm{perc}\)
\(h_2=702,5\ \mathrm{km}\)
a) Kepler harmadik törvényének alkalmazása a CASSIOPE és a CloudSat keringésére:
2 pont
\[\frac{T^2_1}{r^3_1}=\frac{T^2_2}{r^3_3}\]
Ahol:
\(r_1\), \(r_2\) a pályáknak a Föld tömegközéppontjától mért középtávolságait (az ellipszis fél-nagytengelye) jelölik (2 pont).
A CASSIOPE keringési idejének meghatározása:
5 pont
(bontható)
Mivel:
\[r_1= \frac{h_1+h_2+2R_{\mathrm{F}}}{2}=7276,1\ \mathrm{km}\]
(2 pont)
És:
\[r_2=h_2+R_{\mathrm{F}}=7073,5\ \mathrm{km}\]
(1 pont)
Ezért:
\[T_1=T_2 \sqrt {\frac{r^3_1}{r^3_2}}=6185\ \mathrm{s}\approx 103\ \mathrm{perc}\]
(rendezés + számítás, 1 + 1 pont)
b) Határozzuk meg a CloudSat keringési és pályaadataiból a Föld tömegét!
\(M=5,96^{10}\ \mathrm{kg}\)
b) A körmozgás dinamikai feltételének felírása a körpályán keringő műholdra:
2 pont
\[r_2 \cdot \left( \frac{2\pi}{T_2} \right)^{\! 2}=\frac{\gamma \cdot M}{r^2_2}\]
A Föld tömegének meghatározása a CloudSat keringési adataiból:
3 pont
(bontható)
\[M=\frac{r^3_2 \cdot 4\pi^2}{\gamma \cdot T^2_2}=5,96^{10}\ \mathrm{kg}\]
(rendezés + adatok behelyettesítése + számítás, 1 + 1 + 1 pont)
Összesen: 12 pont