Az ábrán látható, a végén függőleges helyzetű kötéllel felfüggesztett, egyensúlyban lévő, \(0,5\ \mathrm{kg}\) tömegű, vékony, homogén rúd hosszának feléig vízbe merül.
$\left(g=9,8\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{\ s^2}},\ \varrho_{\mathrm{víz}}=1\ \mathrm{\displaystyle\frac{g}{\ cm^3}}\right)$
Mekkora a kötélerő? Mekkora a rúd sűrűsége?
\(K=1,63\ \mathrm{N}\)
\(\varrho_{\mathrm{rúd}}=0,75\ \mathrm{\displaystyle\frac{g}{\ cm^3}}\)
Adatok:
\(m=5\ \mathrm{kg}\)
\(g=9,8\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{\ s^2}}\)
\(\varrho_{\mathrm{víz}}=1\ \mathrm{\displaystyle\frac{g}{\ cm^3}}\)
A kötélerő meghatározása:
7 pont
(bontható)
A rúdra ható erőket támadáspontjaikkal és hatásvonalukkal helyesen bemutató ábra készítése: 2 pont.
(Nem feltétlenül szükséges ábrát készíteni, amennyiben később, pl. a nyomatékegyenlet felírásakor az erők és erőkarok viszonya helyes, a teljes pontszám jár.)
A nyomatékegyenlet helyes felírása a rúd egyensúlyi helyzetére: 2 pont.
Pl. a rúd felső végére mint forgáspontra vonatkoztatva, a rúd hosszát $l$‑el jelölve
\[F_{\mathrm{fel}}=\cdot \frac{3l}{4}=G\cdot \frac{l}{2}\]
vagy
\[F_{\mathrm{fel}}\cdot \frac{3l}{4}\cdot \cos{\alpha}=G\cdot \frac{l}{2}\cdot \cos{\alpha}\]
(Ha a nyomatékegyenletet a hajlásszög nélkül írja fel a vizsgázó, s nem is utal a hajlásszög szerepére, 1 pontot kell levonni!)
Ebből
\[F_{\mathrm{fel}}=\frac{2}{3}\cdot G\]
(1 pont)
\[K=G-F_{\mathrm{fel}}=\frac{1}{3}\cdot G=1,63\ \mathrm{N}\]
(képlet + számítás, 1 + 1 pont)
A rúd sűrűségének meghatározása:
5 pont
(bontható)
Mivel
\[F_{\mathrm{fel}}=\varrho_{\mathrm{víz}}\cdot g\cdot \frac{V}{2}\]
(1 pont)
$V$ a rúd térfogata, és
\[\varrho_{\mathrm{rúd}}\cdot g\cdot V=m\cdot g\]
(1 pont)
ezek hányadosából:
\[\frac{\varrho_{\mathrm{rúd}}}{\varrho_{\mathrm{víz}}}=\frac{m\cdot g}{2\cdot F_{\mathrm{fel}}}\]
(1 pont)
\[\varrho_{\mathrm{rúd}}=\varrho_{\mathrm{víz}}\cdot \frac{G}{2}\cdot \frac{3}{2G}\]
\[\varrho_{\mathrm{rúd}}=0,75\ \mathrm{\displaystyle\frac{g}{\ cm^3}}\]
(rendezés + számítás, 1 + 1 pont)
Összesen: 12 pont